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Überarbeitung von Theorie - Statische Analyse

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Daniel Weschke
2015-06-15 14:57:56 +02:00
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@@ -76,7 +76,7 @@ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das fol
\end{Array}
\]
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem vergleichsweise eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) keine direkte Proportionalität vorherrscht.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
@@ -113,8 +113,8 @@ Die \emph{Approximation} als Überlagerung aller Formfunktionen mit den jeweilig
\[
\tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
\]
worin \( u\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(N\) die Formfunktionen und \(\hat{u}\) die Knotenverformung sind.
Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind.
Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
\[
\tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}
\]
@@ -138,13 +138,16 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc
\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
\end{Array}
\]
Hierin ist \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix. Für die äußere virtuelle Arbeit zu
Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.
Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
\[
\begin{Array}{rll} \displaystyle
\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V \\
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V \\
& \displaystyle =
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V\\
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V\\
& \displaystyle =
\delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
\end{Array}