Überarbeitung von Theorie - Statische Analyse

sections/SymbolsCodes.tex

@@ -6,13 +6,53 @@
 \paragraph{Symbole}~\\
 \vspace{-2em}
 \begin{longtable*}[l]{lll}
+\(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\
+\(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\
+\(C^n\) & & Stetige Funktionen und n-fach stetig ableitbar \\
+\(\tensorIV{C}\) & & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\
+\(\tensor{D}\) & & Operatormatrix \\
+\(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\
 \(L\) & mm & Länge \\
+\(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\
+\(\tensor{K}^{(e)}\) & &Elementsteifigkeitsmatrix \\
+\(\tensor{N}\) &  & Formfunktionen \\
+\(\tensorI{n}\) &  & Normalenvektor \\
+\(\tensor{\hat{r}}\) & N & Knotenlastvektor \\
+\(\tensorI{t}\) & MPa & Spannungsvektor \\
+\(\tensorI{u}\) & mm & Verschiebungen \\
+\(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm & FE"=Verschiebung \\
+\(\tensor{\hat{u}}\) & mm & Knotenverschiebungen \\
+\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\
 [0.25cm]
+\(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\
+\(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\
+\(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\
+\(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\
+\(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\
 \(\nu\) &  & Querkontraktionszahl \\
 \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & Cauchy Spannungstensor \\
+%[0.25cm]
+%\multicolumn{3}{l}{\hspace{-0.5em}\textsf{\textbf{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}}}\\
+%\(\forall\) &  & Für alle bzw. für jedes \\
+%\(\in\) &  & Ist Element von oder kurz: In / Aus \\
+%\(\nabla()\) &  & Gradient \\
+%\(\nabla\cdot()\) &  & Divergenz \\
+%\(\cdot\) &  & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\
+%\(:\) &  & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\
+%\(\big|\) &  & An der Stelle bzw. and den Stellen \\
 \end{longtable*}
 
-
+\paragraph{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}~\\
+\vspace{-2em}
+\begin{longtable*}[l]{lll}
+\(\forall\) &  & Für alle bzw. für jedes \\
+\(\in\) &  & Ist Element von oder kurz: In\,/\,Aus \\
+\(\nabla()\) &  & Gradient \\
+\(\nabla\cdot()\) &  & Divergenz \\
+\(\cdot\) &  & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\
+\(:\) &  & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\
+\(\big|\) &  & An der Stelle bzw. and den Stellen \\
+\end{longtable*}
 
 \vspace{-2.25em}
 \paragraph{Abkürzungen}

sections/Theorie.tex

@@ -76,7 +76,7 @@ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das fol
   \end{Array}
 \]
 Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem vergleichsweise eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) keine direkte Proportionalität vorherrscht.
-Damit ist die Elastizitätsbeziehung kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
+Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
 
 Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
 Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
@@ -113,8 +113,8 @@ Die \emph{Approximation} als Überlagerung aller Formfunktionen mit den jeweilig
 \[
   \tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
 \]
-worin \( u\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(N\) die Formfunktionen und \(\hat{u}\) die Knotenverformung sind. 
-Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
+worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind. 
+Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
 \[
   \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}   
 \]
@@ -138,13 +138,16 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc
   \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
   \end{Array}
 \]
-Hierin ist \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix. Für die äußere virtuelle Arbeit zu
+Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
+Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.
+
+Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
 \[
   \begin{Array}{rll} \displaystyle
   \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
-  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V \\
+  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V \\
   & \displaystyle =
-  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V\\
+  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V\\
   & \displaystyle =
   \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
   \end{Array}