diff --git a/sections/SymbolsCodes.tex b/sections/SymbolsCodes.tex index e9f453c..6030568 100755 --- a/sections/SymbolsCodes.tex +++ b/sections/SymbolsCodes.tex @@ -6,13 +6,53 @@ \paragraph{Symbole}~\\ \vspace{-2em} \begin{longtable*}[l]{lll} +\(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\ +\(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\ +\(C^n\) & & Stetige Funktionen und n-fach stetig ableitbar \\ +\(\tensorIV{C}\) & & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\ +\(\tensor{D}\) & & Operatormatrix \\ +\(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\ \(L\) & mm & Länge \\ +\(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\ +\(\tensor{K}^{(e)}\) & &Elementsteifigkeitsmatrix \\ +\(\tensor{N}\) & & Formfunktionen \\ +\(\tensorI{n}\) & & Normalenvektor \\ +\(\tensor{\hat{r}}\) & N & Knotenlastvektor \\ +\(\tensorI{t}\) & MPa & Spannungsvektor \\ +\(\tensorI{u}\) & mm & Verschiebungen \\ +\(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm & FE"=Verschiebung \\ +\(\tensor{\hat{u}}\) & mm & Knotenverschiebungen \\ +\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\ [0.25cm] +\(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\ +\(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\ +\(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\ +\(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\ +\(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\ \(\nu\) & & Querkontraktionszahl \\ \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & Cauchy Spannungstensor \\ +%[0.25cm] +%\multicolumn{3}{l}{\hspace{-0.5em}\textsf{\textbf{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}}}\\ +%\(\forall\) & & Für alle bzw. für jedes \\ +%\(\in\) & & Ist Element von oder kurz: In / Aus \\ +%\(\nabla()\) & & Gradient \\ +%\(\nabla\cdot()\) & & Divergenz \\ +%\(\cdot\) & & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\ +%\(:\) & & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\ +%\(\big|\) & & An der Stelle bzw. and den Stellen \\ \end{longtable*} - +\paragraph{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}~\\ +\vspace{-2em} +\begin{longtable*}[l]{lll} +\(\forall\) & & Für alle bzw. für jedes \\ +\(\in\) & & Ist Element von oder kurz: In\,/\,Aus \\ +\(\nabla()\) & & Gradient \\ +\(\nabla\cdot()\) & & Divergenz \\ +\(\cdot\) & & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\ +\(:\) & & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\ +\(\big|\) & & An der Stelle bzw. and den Stellen \\ +\end{longtable*} \vspace{-2.25em} \paragraph{Abkürzungen} diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index 4a2899e..8b2a154 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -76,7 +76,7 @@ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das fol \end{Array} \] Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem vergleichsweise eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) keine direkte Proportionalität vorherrscht. -Damit ist die Elastizitätsbeziehung kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe. +Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe. Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\). Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. @@ -113,8 +113,8 @@ Die \emph{Approximation} als Überlagerung aller Formfunktionen mit den jeweilig \[ \tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V) \] -worin \( u\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(N\) die Formfunktionen und \(\hat{u}\) die Knotenverformung sind. -Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an +worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind. +Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an \[ \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1} \] @@ -138,13 +138,16 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)} \end{Array} \] -Hierin ist \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix. Für die äußere virtuelle Arbeit zu +Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen. +Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix. + +Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt \[ \begin{Array}{rll} \displaystyle \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle = - \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V \\ + \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V \\ & \displaystyle = - \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V\\ + \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V\\ & \displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)} \end{Array}