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Theorie Statik Reduziertes Gleichungssystem beschrieben

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Daniel Weschke
2015-06-28 00:10:29 +02:00
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@@ -319,9 +319,31 @@ Gelöst wird das Gleichungssystem nach
\tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
\]
wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert.
%\[
% \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
%\]
Genauer wird zwischen unbekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{a}\) und bekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{b} = \tensor{\hat{u}}_0\) unterschieden.
Das Gleichungssystem lässt sich mit diesen Bezeichnungen wie folgt umschreiben
\[
\tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
\begin{bmatrix}
\tensor{K}\ti{aa} & \tensor{K}\ti{ab} \\
\tensor{K}\ti{ab}^\T & \tensor{K}\ti{bb}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\tensor{\hat{u}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{u}}\ti{b}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\tensor{\hat{r}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{r}}\ti{b}
\end{bmatrix}
\]
Für die unbekannte Verschiebung gilt nun
\[
\tensor{\hat{u}}\ti{a} = \tensor{K}\ti{aa}^{-1} \left( \tensor{\hat{r}}\ti{a} - \tensor{K}\ti{ab}\tensor{\hat{u}}\ti{b} \right)
\]
Dieses Gleichungssystem stellt das reduzierte Gleichungssystem dar.
Mit den ermittelten Verschiebungen können nun auch die unbekannten Knotenkräfte beziehungsweise Reaktionskräfte berechnet werden.
\[
\tensor{\hat{r}}\ti{b} = \tensor{K}\ti{ab}^\T\tensor{\hat{u}}\ti{a} + \tensor{K}\ti{bb}\tensor{\hat{u}}\ti{b}
\]
@@ -409,6 +431,7 @@ Bei Verwendung der proportionalen Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese
\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen.
Hierzu wird das sogenannten Eigenschwingungsproblem untersucht, wobei \(\tensor{\hat{r}}(t)=0\) gilt.
Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung
\[
\tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
@@ -417,7 +440,7 @@ sowie das Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
\[
\tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
\]
in die Differentialgleichung liefert das (reelle) Eigenwertproblem
in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
\[
(-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2
\]