From d8b3b7e39ab94d3de1d4cf51bd4377ddc5fca669 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Daniel Weschke <daniel.weschke@gmail.com>
Date: Sun, 28 Jun 2015 00:10:29 +0200
Subject: [PATCH] Theorie Statik Reduziertes Gleichungssystem beschrieben

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index 88c2650..210096f 100755
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+++ b/sections/Theorie.tex
@@ -319,9 +319,31 @@ Gelöst wird das Gleichungssystem nach
   \tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
 \]
 wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
-mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert
+mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert.
+%\[
+%  \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
+%\]
+Genauer wird zwischen unbekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{a}\) und bekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{b} = \tensor{\hat{u}}_0\) unterschieden.
+Das Gleichungssystem lässt sich mit diesen Bezeichnungen wie folgt umschreiben
 \[
-  \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
+  \begin{bmatrix}
+    \tensor{K}\ti{aa} & \tensor{K}\ti{ab} \\
+    \tensor{K}\ti{ab}^\T & \tensor{K}\ti{bb}
+  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
+    \tensor{\hat{u}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{u}}\ti{b}
+  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
+    \tensor{\hat{r}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{r}}\ti{b}
+  \end{bmatrix}
+\]
+Für die unbekannte Verschiebung gilt nun
+\[
+  \tensor{\hat{u}}\ti{a} = \tensor{K}\ti{aa}^{-1} \left( \tensor{\hat{r}}\ti{a} - \tensor{K}\ti{ab}\tensor{\hat{u}}\ti{b} \right)
+\]
+Dieses Gleichungssystem stellt das reduzierte Gleichungssystem dar.
+
+Mit den ermittelten Verschiebungen können nun auch die unbekannten Knotenkräfte beziehungsweise Reaktionskräfte berechnet werden.
+\[
+  \tensor{\hat{r}}\ti{b} = \tensor{K}\ti{ab}^\T\tensor{\hat{u}}\ti{a} + \tensor{K}\ti{bb}\tensor{\hat{u}}\ti{b}
 \]
 
 
@@ -409,6 +431,7 @@ Bei Verwendung der proportionalen Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese
 
 \paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
 Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen.
+Hierzu wird das sogenannten Eigenschwingungsproblem untersucht, wobei \(\tensor{\hat{r}}(t)=0\) gilt.
 Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung 
 \[
   \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
@@ -417,7 +440,7 @@ sowie das Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
 \[
   \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
 \]
-in die Differentialgleichung liefert das (reelle) Eigenwertproblem
+in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
 \[
   (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 
 \]