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Theorie Statik Reduziertes Gleichungssystem beschrieben

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Daniel Weschke
2015-06-28 00:10:29 +02:00
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@@ -319,9 +319,31 @@ Gelöst wird das Gleichungssystem nach
\tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}} \tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
\] \]
wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert.
%\[
% \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
%\]
Genauer wird zwischen unbekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{a}\) und bekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{b} = \tensor{\hat{u}}_0\) unterschieden.
Das Gleichungssystem lässt sich mit diesen Bezeichnungen wie folgt umschreiben
\[ \[
\tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red} \begin{bmatrix}
\tensor{K}\ti{aa} & \tensor{K}\ti{ab} \\
\tensor{K}\ti{ab}^\T & \tensor{K}\ti{bb}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\tensor{\hat{u}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{u}}\ti{b}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\tensor{\hat{r}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{r}}\ti{b}
\end{bmatrix}
\]
Für die unbekannte Verschiebung gilt nun
\[
\tensor{\hat{u}}\ti{a} = \tensor{K}\ti{aa}^{-1} \left( \tensor{\hat{r}}\ti{a} - \tensor{K}\ti{ab}\tensor{\hat{u}}\ti{b} \right)
\]
Dieses Gleichungssystem stellt das reduzierte Gleichungssystem dar.
Mit den ermittelten Verschiebungen können nun auch die unbekannten Knotenkräfte beziehungsweise Reaktionskräfte berechnet werden.
\[
\tensor{\hat{r}}\ti{b} = \tensor{K}\ti{ab}^\T\tensor{\hat{u}}\ti{a} + \tensor{K}\ti{bb}\tensor{\hat{u}}\ti{b}
\] \]
@@ -409,6 +431,7 @@ Bei Verwendung der proportionalen Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese
\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\ \paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen. Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen.
Hierzu wird das sogenannten Eigenschwingungsproblem untersucht, wobei \(\tensor{\hat{r}}(t)=0\) gilt.
Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung
\[ \[
\tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0} \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
@@ -417,7 +440,7 @@ sowie das Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
\[ \[
\tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
\] \]
in die Differentialgleichung liefert das (reelle) Eigenwertproblem in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
\[ \[
(-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2
\] \]