Einleitung zur FEM und erste Formulierungen zur statischen Analyse hinzugefügt
This commit is contained in:
@@ -163,6 +163,11 @@
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% -----------------------------------------
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% Aufzählungen
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% -----------------------------------------
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\makeatletter
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\newcommand*{\rom}[1]{\mathrm{\romannumeral #1}}
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\newcommand*{\Rom}[1]{\mathrm{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@}}
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\makeatother
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\renewcommand{\labelitemi}{--}
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\renewcommand{\labelitemii}{\(\boldsymbol\cdot\)} % \times
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@@ -172,8 +177,11 @@
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\setlist{nosep} % noitemsep
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\setlist[1]{labelindent=\parindent} % Usually a good idea
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\setlist[itemize]{parsep=0pt,itemsep=0pt,leftmargin=*}
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\setlist[enumerate]{parsep=0pt,itemsep=0pt,leftmargin=*}
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\usepackage{listings}
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%\usepackage{listingsutf8}
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%\begin{lstlisting}[numbersep=0pt,resetmargins=true]
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\renewcommand{\lstlistingname}{Programmausdruck}
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\lstdefinestyle{custom}{
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%xleftmargin=2em,
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@@ -186,7 +194,18 @@
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columns=fullflexible,
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basicstyle=\ttfamily % otherwise copy-and-paste won’t work
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}
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\lstset{literate=%
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{Ö}{{\"O}}1
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{Ä}{{\"A}}1
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{Ü}{{\"U}}1
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{ß}{{\ss}}1
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{ü}{{\"u}}1
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{ä}{{\"a}}1
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{ö}{{\"o}}1
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}
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\lstset{
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extendedchars=\true,
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%inputencoding=utf8/latin1, % if package listingsutf8 is used
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style=custom,
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language=Matlab,
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basicstyle=\scriptsize\ttfamily, % small, footnotesize, scriptsize
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@@ -252,6 +271,24 @@
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% linie unterhalb mit text \underbracket[1pt][0pt]{bla}_\text{blo}
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\newcommand\Dfrac[2]{\dfrac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}
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\newcommand{\slfrac}[2]{\left.#1\middle/#2\right.}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{nicefrac}
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\usepackage{faktor}
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% http://tex.stackexchange.com/questions/27591/extending-the-faktor-package/27735#27735
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\DeclareDocumentCommand{\Faktor}{s m O{0.5} m O{-0.5}}{% \newfaktor[*]{#2}[#3]{#4}[#5] -> #2/#4
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\setbox0=\hbox{\scalebox{0.8}{\ensuremath{#2\vphantom{1}}}}% Store numerator
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\setbox1=\hbox{\ensuremath{\diagup}}% Store slash /
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\setbox2=\hbox{\scalebox{0.8}{\ensuremath{#4}}}% Store denominator
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\raisebox{#3\ht1}{\usebox0}% Numerator
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\mkern-5mu\ifthenelse{\equal{#1}{\BooleanTrue}}% Slash /
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{\diagup}% regular \faktor slash
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{\rotatebox{-44}{\rule[#5\ht2]{0.4pt}{-#5\ht2+#3\ht0+\ht0}}}% tilted rule as a slash
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\mkern-4mu%
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\raisebox{#5\ht2}{\usebox2}% Denominator
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}
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% another slanted fration below at tikz
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\usepackage[ % kann nicht mit amssymb zusammenlaufen
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@@ -291,16 +328,31 @@
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\newcommand{\LM}{\field{L}} % Lösungsmenge
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\newcommand*{\qed}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}
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\newcommand*\euler{\mathrm{e}}
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\renewcommand{\deg}{\ensuremath{^{\circ}}\xspace}
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\newcommand\degC{{\,^{\circ}\mathrm{C}}}
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\newcommand\sins{{\mathrm{s}}} % short sin: s
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\newcommand\coss{{\mathrm{c}}} % short cos: c
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\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
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\newcommand{\T}{{\mathrm{T}}\!} % Transpose operator
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\newcommand{\TF}{{\raisebox{-0.5ex}{$\sim$}}} % sign for transfomed values: low tilde
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\newcommand{\adj}{{\mathrm{H}}} % Adjoint operator
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\newcommand*\dif{\mathop{}\!\mathrm{d}}
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\newcommand*\E{\ensuremath{\mathrm{E}}}
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\providecommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} % ||x||
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\providecommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert} % |x|
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\providecommand{\innerProd}[2]{\langle #1, #2\rangle} % <x,y>
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\DeclareMathOperator{\grad}{grad} % $\grad u$ = grad u
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\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild} % Bild einer Funktion
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\DeclareMathOperator{\rank}{rank} % Rank of a matrix
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\DeclareMathOperator{\tr}{tr} % Matrix trace
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\DeclareMathOperator{\dev}{dev} % Matrix deviation
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\DeclareMathOperator{\var}{var} % Variance
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\DeclareMathOperator{\grad}{grad} % $\grad u$ = grad u
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\DeclareMathOperator{\divergence}{div} % $\div u$ = div u
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\DeclareMathOperator{\rot}{rot} % $\rot u$ = rot u
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\DeclareMathOperator{\diag}{diag} % Diagonal matrix
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\DeclareMathOperator{\adjugate}{adj} % Classical adjoint (adjugate)
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%\newcommand{\corresponds}{\ensuremath{\stackrel{\wedge}{=} \hat{=} \mathop{\hat{=}} \substack{\wedge\\=} \mathrel{\widehat{=}} } \^{=} }
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\newcommand*\corresponds{%
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@@ -316,13 +368,21 @@
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\overset{\mbox{\large\bfseries .\hspace{-0.1ex}.}}{#1}}
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%\usepackage{accents}
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\usepackage{ushort} % for tensor
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%\usepackage{ulem} % not for math mode, too much space below with uuline; for tensor
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\newcommand{\tensor}[1]{ \ensuremath{ {\boldsymbol{#1}} } }
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\newcommand{\tensor}[1]{ \ensuremath{ \mathbf{#1} } }
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\newcommand{\tensorI}[1]{ \ensuremath{ \uline{ \bm{#1} } } }
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\newcommand{\tensorII}[1]{ \ensuremath{ \uuline{ \bm{#1} } } }
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\newcommand{\tensorIII}[1]{ \ensuremath{ \underaccent{3}{ \underaccent{\tilde}{ \bm{#1} } } } }
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\newcommand{\tensorIV}[1]{ \ensuremath{ \underaccent{4}{ \underaccent{\tilde}{ \bm{#1} } } } }
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\newcommand{\tensorI}[1]{ \ensuremath{ \ushort{ {\boldsymbol{#1}} } } }
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||||
\newcommand{\tensorII}[1]{ \ensuremath{ \ushortd{{\boldsymbol{#1}} } } }
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||||
\newcommand{\tensorIII}[1]{ \ensuremath{ \underaccent{3}{ \underaccent{\tilde}{ {\boldsymbol{#1}} } } } }
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\newcommand{\tensorIV}[1]{ \ensuremath{ \underaccent{4}{ \underaccent{\tilde}{ {\boldsymbol{#1}} } } } }
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% bm variant
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%\usepackage{bm} % load bm after amsmath and after your font packages!; for tensor
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%\newcommand{\tensorI}[1]{ \ensuremath{ \uline{ \bm{#1} } } }
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%\newcommand{\tensorII}[1]{ \ensuremath{ \uuline{ \bm{#1} } } }
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%\newcommand{\tensorIII}[1]{ \ensuremath{ \underaccent{3}{ \underaccent{\tilde}{ \bm{#1} } } } }
|
||||
%\newcommand{\tensorIV}[1]{ \ensuremath{ \underaccent{4}{ \underaccent{\tilde}{ \bm{#1} } } } }
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%needs MnSymbol
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\newcommand{\tensori}[1]{
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@@ -356,23 +416,46 @@
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\usepackage{amsthm}
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\theoremstyle{definition}
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% nummeriert
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\newtheorem{tDef}{Def}
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\newtheorem{tBsp}{Bsp}
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% unnummeriert
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\newtheorem*{tDef}{Def}
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\newtheorem*{tDef*}{Def}
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||||
\newtheorem*{tBsp*}{Bsp}
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\newcommand{\undertab}[1]{\clap{%
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\scriptsize\begin{tabular}{@{}c@{}}#1\end{tabular}}}
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% underbrace, centered, space corrected
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\newcommand{\ubspace}[2]{% Correct \underbrace spacing
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\mathrlap{\underbrace{\phantom{#1\strut}}_{\undertab{#2}}}#1}
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||||
\mathrlap{\underbrace{\phantom{\scalebox{0.95}{$#1$}\strut}}_{\undertab{#2}}}#1}
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||||
% underbrace, left aligned, space corrected
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||||
\newcommand{\ubspacel}[2]{% Correct \underbrace spacing
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||||
\mathrlap{\underbracket[0pt][0pt]{\phantom{\scalebox{0.95}{$#1$}\strut}}_{\vphantom{\big\mid}\text{#2}}}\underbrace{#1}}
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||||
% underbrace line, left aligned, space corrected
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||||
\newcommand{\ubspacell}[2]{
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||||
\mathrlap{\underbracket[0pt][0pt]{\phantom{#1\strut}}_{\text{#2}}}\underbracket[0.5pt][0pt]{#1}}
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%\usepackage{eurosym} % fuer das Eurosymbol
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%\DeclareUnicodeCharacter{20AC}{\euro{}}
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\usepackage{cancel}
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%\begin{pmatrix}[1.5] -> \arraystretch{1.5}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][\arraystretch]{%
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\edef\arraystretch{0.8}%
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\edef\arraystretch{#1}%
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||||
\edef\arraycolsep{2pt}%
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\hskip -\arraycolsep
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||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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||||
\array{*\c@MaxMatrixCols c}}
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\makeatother
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||||
\newenvironment{Array}[1]{
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\begingroup
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\arraycolsep=1pt\def\arraystretch{1}
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\begin{array}{@{}#1@{}}
|
||||
}{\end{array}\endgroup}
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% -----------------------------------------
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@@ -535,6 +618,11 @@
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% !!!! in tikzset sind keine Leerzeilen erlaubt !!!!
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\tikzset{
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%scale a tikzpicture including texts
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global scale/.style={
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scale=#1,
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every node/.style={scale=#1}
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},
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%Define standard arrow tip
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>=stealth',
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%Define standard node
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@@ -735,3 +823,13 @@
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\makeatletter
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\def\mynobreakpar{\par\nobreak\@afterheading}
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||||
\def\mynobreakline{\par\nobreak\vspace{-\parskip}\@afterheading\noindent} \makeatother
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\newenvironment{absolutelynopagebreak}
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||||
{\par\nobreak\vfil\penalty0\vfilneg
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\vtop\bgroup}
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{\par\xdef\tpd{\the\prevdepth}\egroup
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||||
\prevdepth=\tpd}
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%\begin{absolutelynopagebreak}
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%\lipsum[1-3]\lipsum*[4]
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%\end{absolutelynopagebreak}
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@@ -27,9 +27,33 @@ In den nachfolgenden Abschnitten wird auf die Grundlagen der statischen und dyna
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Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86} und \cite{klein05} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
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verwiesen.
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Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst. Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung, und bei dynamischen Problemen die Bewegungsdifferentialgleichung.
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Dabei umfasst die \ac{FEM} zur Lösung der Feldgröße drei grundlegende Schritte; die Partitionierung, die Approximation und die Assemblierung.
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Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
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Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
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und bei dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
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Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
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Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird; die Partitionierung, die Approximation und die Assemblierung.
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\subsubsection{Statische Analysen}
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Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Formulierung --
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\[
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\begin{Array}{rcl}
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\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
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\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
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\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
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&&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
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\end{Array}
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\]
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Die partiell abgeleiteten inneren Spannungen~\(\tensorII{\sigma}\) stehen mit den Volumenkräften~\(\tensorI{f}\) im Gleichgewicht.
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Dabei beschreiben die Randbedingungen zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
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Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variationsprinzip -- das sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} -- herangezogen, mit der ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
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Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}),~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)), mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\).
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\[
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}}
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\]
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wobei \( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
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und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
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(Gauß'sche Integralsatz)
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\subsubsection{Dynamische Analysen}
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Reference in New Issue
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