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Theorie Statik Formfunktionen und Transformationen beschrieben

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Daniel Weschke
2015-06-29 01:42:46 +02:00
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commit d03a3de57a
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10
sections/References.bib
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@@ -62,6 +62,16 @@
edition = {},
gender={pm},
}
@BOOK{kuhl07,
author = {Kuhl, Detlef},
title= {Finite Elemente I + II},
subtitle= {},
publisher = {Universität Kassel},
year = {2007},
address = {Kassel},
edition = {},
gender={sm},
}
@BOOK{tm409,
author = {Gross, Dietmar and Hauger, Werner and Wriggers, Peter},
title = {Technische Mechanik},

21
sections/SymbolsCodes.tex
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@@ -13,14 +13,15 @@
\(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\
\(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\
\(\tensor{\tilde{D}}\) & & Modale Dämpfungsmatrix \\
\(\mathcal{D}\) & & Operatormatrix \\
\(\mathcal{D}\) & & Differentialoperatormatrix \\
\(d\) & N\,s/m; N\,m\,s & Dämpfungskonstante \\
\(f\) & Hz & Eigenfrequenz \\
\(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\
\(L\) & mm & Länge \\
\(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\
\(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\
\(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\
\(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\
\(L\) & mm & Länge \\
\(\tensor{M}\) & & Gesamtmassenmatrix \\
\(\tensor{M}^{(e)}\) & & Elementmassenmatrix \\
\(\tensor{\tilde{M}}\) & & Modale Massenmatrix \\
@@ -40,14 +41,15 @@
\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\
\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\
\(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\
\(\tensorI{x}\) & mm & Ortsvektor \\
\(\tensorI{X}\) & mm & Physikalische Koordinaten \\
\(\tensorI{x}\) & mm & Physikalische Koordinaten \\
[0.25cm]
\(\alpha\) & & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\alpha\) & & Rayleigh"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\
\(\beta\) & & Rayleigh"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\
\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\alpha\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\alpha\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\
\(\beta\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\
\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\Delta t\) & & Diskreter Zeitabschnitt \\
\(\delta\) & & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\delta\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\
\(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\
\(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\
@@ -55,8 +57,9 @@
\(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\
\(\lambda\) & & Eigenwert \\
\(\nu\) & & Querkontraktionszahl \\
\(\xi\) & & Natürliche Koordinaten \\
\(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\
\(\tensorII{\sigma}\) & MPa & Cauchy Spannungstensor \\
\(\tensorII{\sigma}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungstensor \\
\(\tensor{\Phi}\) & & Modale Matrix \\
\(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\
\(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\

164
sections/Theorie.tex
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@@ -42,8 +42,8 @@ Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein bel
\[
\begin{Array}{rlll}
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)}\\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
\end{Array}
\]
@@ -63,7 +63,7 @@ gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
\sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0
\end{Array}
\]
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
@@ -209,7 +209,7 @@ wobei
%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
%(Gauß'sche Integralsatz)
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
(Green'sche Integralsatz)
(\textsc{Green}'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.
@@ -237,7 +237,7 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben
\begin{Array}{rrll}
&\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
\\
\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
\end{Array}
\]
%\[
@@ -254,6 +254,23 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
oder ausführlich
\[
\begin{bmatrix}
\varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{12} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
\Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
\Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_1 \\ u_2 \\ u_3
\end{bmatrix}
\]
hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
@@ -273,6 +290,135 @@ Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Fo
\[
\tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}
\]
Die Formfunktion eines Elementknotens kann durch Multiplikation der zu diesem Knoten korrespondierenden (drei) eindimensionalen Formfunktionen (\textsc{Lagrange}"=Polynome) entwickelt werden.\cite{kuhl07}
Dabei werden die Formfunktionen des jeweiligen Knotens~\(N_i\) mit Hilfe der Interpolationseigenschaften
\[
\begin{Array}{lll}
N_i(\tensorI{\xi}^i) = 1 ~, \quad i = 1, 2, \ldots, 8~,\\
N_i(\tensorI{\xi}^j) = 0 ~, \quad j \neq i
\end{Array}
\]
hergeleitet, wobei mit \(\tensorI{\xi}^i\) die Koordinate zum Knoten~\(i\) gemeint ist.
Die Abbildung~\ref{pgfplots:Formfunktion} zeigt am Beispiel des dritten Knotens die entsprechende Formfunktion.
%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
\coordinate (k1) at (-.5,-.5,-.5);
\coordinate (k2) at (.5,-.5,-.5);
\coordinate (k3) at (.5,.5,-.5);
\coordinate (k4) at (-.5,.5,-.5);
\coordinate (k5) at (-.5,-.5,.5);
\coordinate (k6) at (.5,-.5,.5);
\coordinate (k7) at (.5,.5,.5);
\coordinate (k8) at (-.5,.5,.5);
\coordinate (n31) at ($(k3)+(.2,0,0)$);
\coordinate (n32) at ($(k3)+(0,.2,0)$);
\coordinate (n33) at ($(k3)+(0,0,-.2)$);
\fill[color=black!25] (n33) -- (k4) -- (k3) -- cycle;
\fill[color=black!25] (n33) -- (k3) -- (k2) -- cycle;
\draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n33);
\draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k2);
\draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k4);
\fill[color=black!25] (n31) -- (k3) -- (k7) -- cycle;
\fill[color=white] (k2) -- (n31) -- (k7) -- (k6) -- cycle;
\draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n31);
\draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k2);
\draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k7);
\fill[color=black!25] (n32) -- (k7) -- (k3) -- cycle;
\fill[color=white] (n32) -- (k4) -- (k8) -- (k7) -- cycle;
\draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n32);
\draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k4);
\draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k7);
\draw[color=black!100] (k2) -- (k3) -- (k4);
\draw[color=black!100,thick] (k2) -- (k6);
\draw[color=black!100] (k3) -- (k7);
\draw[color=black!100,thick] (k4) -- (k8);
\draw[color=black!100,thick] (k5) -- (k6) -- (k7) -- (k8) -- cycle;
\draw[thick] (k2) circle (.04) node[right=.1] {2};
\draw[thick] (k3) circle (.04) node[above right=.1] {3};
\draw[thick] (k4) circle (.04) node[left=.1] {4};
\draw[thick] (k5) circle (.04) node[left=.1] {5};
\draw[thick] (k6) circle (.04) node[right=.1] {6};
\draw[thick] (k7) circle (.04) node[right=.1] {7};
\draw[thick] (k8) circle (.04) node[left=.1] {8};
% Koordinatensystem
\draw[->] (.6,0,0) -- (1,0,0) node[right] {$\xi_1$};
\draw[->] (0,.6,0) -- (0,1,0) node[above] {$\xi_2$};
\draw[->] (0,0,.5) -- (0,0,1) node[below left] {$\xi_3$};
}
\end{tikzpicture}
\caption[Formfunktion \(N_3(\tensor{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements]{Formfunktion \(N_3(\tensorI{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements}
\label{pgfplots:Formfunktion}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
%
Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) beschrieben sind, lauten
\[
\begin{Array}{lll}
N_1(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
N_2(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
N_3(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\
N_4(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\
N_5(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\
N_6(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\
N_7(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
N_8(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
\end{Array}
\]
wobei für die Anordnung in die Matrix der Formfunktionen~\(\tensor{N}\) zuerst die jeweilige Formfunktion zum Knoten \(N_i\) diagonal zu jeden Freiheitsgrad in eine Untermatrix \(\tensor{N}_{\!i}\) abgebildet werden. Anschließend werden diese Untermatrizen in Reihe für jeden Knoten angeordnet.
\[
\tensor{N}_i(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
N_i(\tensorI{\xi}) & 0 & 0 \\
0 & N_i(\tensorI{\xi}) & 0 \\
0 & 0 & N_i(\tensorI{\xi})
\end{bmatrix}
\qquad
\tensor{N}(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
\tensor{N}_1(\tensorI{\xi}) & \tensor{N}_2(\tensorI{\xi}) & \cdots & \tensor{N}_8(\tensorI{\xi})
\end{bmatrix}
\]
Sollen die Formfunktionen mit natürlichen Koordinaten verwendet werden, muss für den Verzerrungstensor die Ableitungen nach den physikalischen globalen Koordinaten~\(\tensorI{X}\) und den natürlichen Elementkoordinaten~\(\tensorI{\xi}\) eine Transformation erfolgen. Es gilt als Transformationsbeziehung
\[
\begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_1} \\
\Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_2} \\
\Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_3} \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3}
\end{bmatrix}
\quad\text{bzw.}\quad
\frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}} = \tensorII{J}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{X}}
\]
Hierin ist \(\tensorII{J}(\tensorI{\xi})\) die \textsc{Jacobi}"=Matrix.
Mit der Inversen"=\textsc{Jacobi}"=Matrix wird die Transformationsbeziehung zur Ableitung von Funktion in natürliche Koordinaten nach den physikalischen Koordinaten beschrieben.
\[
\begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_1} \\
\Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_2} \\
\Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_3} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3}
\end{bmatrix}
\quad\text{bzw.}\quad
\frac{\partial}{\partial\tensorI{X}} = \tensorII{J}^{-1}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}}
\]
Mit Hilfe der \textsc{Jacobi}"=Determinante ist das Volumenelement \(\dif V\) in physikalischen Koordinaten in das Volumenelement in natürlichen Koordinaten zu transformieren.
\[
\dif V = \abs{\tensorII{J}(\tensorI{\xi})} \dif\xi_1\dif\xi_2\dif\xi_3
\]
Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
\[
\begin{Array}{lll} \displaystyle
@@ -516,7 +662,7 @@ Für das halbdiskrete zeitlich abhängige FE"=Gleichungssystem zum Zeitpunkt \(t
\[
\tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}_{n+1} = \tensor{\hat{r}}_{n+1}
\]
erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach Newmark \cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit
erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach \citeauthor{newmark59}~\cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit
\[
\begin{Array}{rlll} \displaystyle
\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left[ (1-\delta)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \delta\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t \\[1em]\displaystyle
@@ -543,12 +689,12 @@ Mit der jetzigen Kenntnis von \(\tensor{\hat{u}}_{n+1}\) können mit den folgend
\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} = \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\left( \tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n} \right) - \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
\end{Array}
\]
Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem Newmark"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert
Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem \textsc{Newmark}"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert
\[
\delta\geq\frac{1}{2}~,\quad \alpha\geq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\delta\right)^2
\]
Erfüllen die Newmark"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87}
Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der Newmark"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die Newmark"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben
Erfüllen die \textsc{Newmark}"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87}
Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der \textsc{Newmark}"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die \textsc{Newmark}"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben
\[
\delta = \frac{1}{2}+\gamma~,\quad
\alpha = \frac{1}{4}(1+\gamma)^2~,\quad