diff --git a/sections/References.bib b/sections/References.bib index 992d502..d9548a1 100755 --- a/sections/References.bib +++ b/sections/References.bib @@ -62,6 +62,16 @@ edition = {}, gender={pm}, } +@BOOK{kuhl07, + author = {Kuhl, Detlef}, + title= {Finite Elemente I + II}, + subtitle= {}, + publisher = {Universität Kassel}, + year = {2007}, + address = {Kassel}, + edition = {}, + gender={sm}, +} @BOOK{tm409, author = {Gross, Dietmar and Hauger, Werner and Wriggers, Peter}, title = {Technische Mechanik}, diff --git a/sections/SymbolsCodes.tex b/sections/SymbolsCodes.tex index 479f8b3..623a18e 100755 --- a/sections/SymbolsCodes.tex +++ b/sections/SymbolsCodes.tex @@ -13,14 +13,15 @@ \(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\ \(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\ \(\tensor{\tilde{D}}\) & & Modale Dämpfungsmatrix \\ -\(\mathcal{D}\) & & Operatormatrix \\ +\(\mathcal{D}\) & & Differentialoperatormatrix \\ \(d\) & N\,s/m; N\,m\,s & Dämpfungskonstante \\ \(f\) & Hz & Eigenfrequenz \\ \(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\ -\(L\) & mm & Länge \\ +\(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\ \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\ \(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\ \(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\ +\(L\) & mm & Länge \\ \(\tensor{M}\) & & Gesamtmassenmatrix \\ \(\tensor{M}^{(e)}\) & & Elementmassenmatrix \\ \(\tensor{\tilde{M}}\) & & Modale Massenmatrix \\ @@ -40,14 +41,15 @@ \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\ \(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\ \(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\ -\(\tensorI{x}\) & mm & Ortsvektor \\ +\(\tensorI{X}\) & mm & Physikalische Koordinaten \\ +\(\tensorI{x}\) & mm & Physikalische Koordinaten \\ [0.25cm] -\(\alpha\) & & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\ -\(\alpha\) & & Rayleigh"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\ -\(\beta\) & & Rayleigh"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\ -\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\ +\(\alpha\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ +\(\alpha\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\ +\(\beta\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\ +\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\Delta t\) & & Diskreter Zeitabschnitt \\ -\(\delta\) & & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\ +\(\delta\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\ \(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\ \(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\ @@ -55,8 +57,9 @@ \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\ \(\lambda\) & & Eigenwert \\ \(\nu\) & & Querkontraktionszahl \\ +\(\xi\) & & Natürliche Koordinaten \\ \(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\ -\(\tensorII{\sigma}\) & MPa & Cauchy Spannungstensor \\ +\(\tensorII{\sigma}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungstensor \\ \(\tensor{\Phi}\) & & Modale Matrix \\ \(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\ \(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\ diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index c15f4fe..cfd2860 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -42,8 +42,8 @@ Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein bel \[ \begin{Array}{rlll} \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\ - \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)}\\ - \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\ + \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\ + \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\ &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.} \end{Array} \] @@ -63,7 +63,7 @@ gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen% \sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0 \end{Array} \] -Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\). +Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\). Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. @@ -209,7 +209,7 @@ wobei %und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \) %(Gauß'sche Integralsatz) \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \) -(Green'sche Integralsatz) +(\textsc{Green}'sche Integralsatz) sowie \( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt. @@ -237,7 +237,7 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben \begin{Array}{rrll} &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) \\ - \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix} + \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix} \end{Array} \] %\[ @@ -254,6 +254,23 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben % 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\ % \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x} % \end{bmatrix} \] +%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\) +oder ausführlich +\[ + \begin{bmatrix} + \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{12} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} +\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\ + 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\ + 0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\ + \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\ + 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ + \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ + \end{bmatrix} \begin{bmatrix} + u_1 \\ u_2 \\ u_3 + \end{bmatrix} +\] +hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix. Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\). Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. @@ -273,6 +290,135 @@ Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Fo \[ \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1} \] +Die Formfunktion eines Elementknotens kann durch Multiplikation der zu diesem Knoten korrespondierenden (drei) eindimensionalen Formfunktionen (\textsc{Lagrange}"=Polynome) entwickelt werden.\cite{kuhl07} +Dabei werden die Formfunktionen des jeweiligen Knotens~\(N_i\) mit Hilfe der Interpolationseigenschaften +\[ + \begin{Array}{lll} + N_i(\tensorI{\xi}^i) = 1 ~, \quad i = 1, 2, \ldots, 8~,\\ + N_i(\tensorI{\xi}^j) = 0 ~, \quad j \neq i + \end{Array} +\] +hergeleitet, wobei mit \(\tensorI{\xi}^i\) die Koordinate zum Knoten~\(i\) gemeint ist. +Die Abbildung~\ref{pgfplots:Formfunktion} zeigt am Beispiel des dritten Knotens die entsprechende Formfunktion. +% +\begin{figure}[H]\centering +\begin{tikzpicture}[scale=2.5] +{ + \coordinate (k1) at (-.5,-.5,-.5); + \coordinate (k2) at (.5,-.5,-.5); + \coordinate (k3) at (.5,.5,-.5); + \coordinate (k4) at (-.5,.5,-.5); + \coordinate (k5) at (-.5,-.5,.5); + \coordinate (k6) at (.5,-.5,.5); + \coordinate (k7) at (.5,.5,.5); + \coordinate (k8) at (-.5,.5,.5); + + \coordinate (n31) at ($(k3)+(.2,0,0)$); + \coordinate (n32) at ($(k3)+(0,.2,0)$); + \coordinate (n33) at ($(k3)+(0,0,-.2)$); + + \fill[color=black!25] (n33) -- (k4) -- (k3) -- cycle; + \fill[color=black!25] (n33) -- (k3) -- (k2) -- cycle; + \draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n33); + \draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k2); + \draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k4); + + \fill[color=black!25] (n31) -- (k3) -- (k7) -- cycle; + \fill[color=white] (k2) -- (n31) -- (k7) -- (k6) -- cycle; + \draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n31); + \draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k2); + \draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k7); + + \fill[color=black!25] (n32) -- (k7) -- (k3) -- cycle; + \fill[color=white] (n32) -- (k4) -- (k8) -- (k7) -- cycle; + \draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n32); + \draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k4); + \draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k7); + + \draw[color=black!100] (k2) -- (k3) -- (k4); + \draw[color=black!100,thick] (k2) -- (k6); + \draw[color=black!100] (k3) -- (k7); + \draw[color=black!100,thick] (k4) -- (k8); + \draw[color=black!100,thick] (k5) -- (k6) -- (k7) -- (k8) -- cycle; + + \draw[thick] (k2) circle (.04) node[right=.1] {2}; + \draw[thick] (k3) circle (.04) node[above right=.1] {3}; + \draw[thick] (k4) circle (.04) node[left=.1] {4}; + \draw[thick] (k5) circle (.04) node[left=.1] {5}; + \draw[thick] (k6) circle (.04) node[right=.1] {6}; + \draw[thick] (k7) circle (.04) node[right=.1] {7}; + \draw[thick] (k8) circle (.04) node[left=.1] {8}; + + % Koordinatensystem + \draw[->] (.6,0,0) -- (1,0,0) node[right] {$\xi_1$}; + \draw[->] (0,.6,0) -- (0,1,0) node[above] {$\xi_2$}; + \draw[->] (0,0,.5) -- (0,0,1) node[below left] {$\xi_3$}; +} +\end{tikzpicture} +\caption[Formfunktion \(N_3(\tensor{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements]{Formfunktion \(N_3(\tensorI{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements} +\label{pgfplots:Formfunktion} +\end{figure} \vspace{-1.5em} +% +Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) beschrieben sind, lauten +\[ + \begin{Array}{lll} + N_1(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\ + N_2(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\ + N_3(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\ + N_4(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\ + N_5(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\ + N_6(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\ + N_7(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\ + N_8(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\ + \end{Array} +\] +wobei für die Anordnung in die Matrix der Formfunktionen~\(\tensor{N}\) zuerst die jeweilige Formfunktion zum Knoten \(N_i\) diagonal zu jeden Freiheitsgrad in eine Untermatrix \(\tensor{N}_{\!i}\) abgebildet werden. Anschließend werden diese Untermatrizen in Reihe für jeden Knoten angeordnet. +\[ + \tensor{N}_i(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix} + N_i(\tensorI{\xi}) & 0 & 0 \\ + 0 & N_i(\tensorI{\xi}) & 0 \\ + 0 & 0 & N_i(\tensorI{\xi}) + \end{bmatrix} + \qquad + \tensor{N}(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix} + \tensor{N}_1(\tensorI{\xi}) & \tensor{N}_2(\tensorI{\xi}) & \cdots & \tensor{N}_8(\tensorI{\xi}) + \end{bmatrix} +\] +Sollen die Formfunktionen mit natürlichen Koordinaten verwendet werden, muss für den Verzerrungstensor die Ableitungen nach den physikalischen globalen Koordinaten~\(\tensorI{X}\) und den natürlichen Elementkoordinaten~\(\tensorI{\xi}\) eine Transformation erfolgen. Es gilt als Transformationsbeziehung +\[ + \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3} + \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_1} \\ + \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_2} \\ + \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_3} \\ + \end{bmatrix} \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3} + \end{bmatrix} + \quad\text{bzw.}\quad + \frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}} = \tensorII{J}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{X}} +\] +Hierin ist \(\tensorII{J}(\tensorI{\xi})\) die \textsc{Jacobi}"=Matrix. +Mit der Inversen"=\textsc{Jacobi}"=Matrix wird die Transformationsbeziehung zur Ableitung von Funktion in natürliche Koordinaten nach den physikalischen Koordinaten beschrieben. +\[ + \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3} + \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_1} \\ + \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_2} \\ + \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_3} \\ + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3} + \end{bmatrix} + \quad\text{bzw.}\quad + \frac{\partial}{\partial\tensorI{X}} = \tensorII{J}^{-1}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}} +\] +Mit Hilfe der \textsc{Jacobi}"=Determinante ist das Volumenelement \(\dif V\) in physikalischen Koordinaten in das Volumenelement in natürlichen Koordinaten zu transformieren. +\[ + \dif V = \abs{\tensorII{J}(\tensorI{\xi})} \dif\xi_1\dif\xi_2\dif\xi_3 +\] + Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet. \[ \begin{Array}{lll} \displaystyle @@ -516,7 +662,7 @@ Für das halbdiskrete zeitlich abhängige FE"=Gleichungssystem zum Zeitpunkt \(t \[ \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}_{n+1} = \tensor{\hat{r}}_{n+1} \] -erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach Newmark \cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit +erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach \citeauthor{newmark59}~\cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit \[ \begin{Array}{rlll} \displaystyle \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left[ (1-\delta)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \delta\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t \\[1em]\displaystyle @@ -543,12 +689,12 @@ Mit der jetzigen Kenntnis von \(\tensor{\hat{u}}_{n+1}\) können mit den folgend \tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} = \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\left( \tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n} \right) - \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \end{Array} \] -Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem Newmark"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert +Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem \textsc{Newmark}"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert \[ \delta\geq\frac{1}{2}~,\quad \alpha\geq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\delta\right)^2 \] -Erfüllen die Newmark"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87} -Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der Newmark"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die Newmark"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben +Erfüllen die \textsc{Newmark}"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87} +Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der \textsc{Newmark}"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die \textsc{Newmark}"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben \[ \delta = \frac{1}{2}+\gamma~,\quad \alpha = \frac{1}{4}(1+\gamma)^2~,\quad