Theorie Transient Analyse linear beschrieben

sections/References.bib

@@ -42,6 +42,16 @@
   location = {Urbana, IL},
   pages = {67--94},
 }
+@BOOK{hughes87,
+  author = {Hughes, T. J. R.},
+  title= {The Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis},
+  subtitle= {},
+  publisher = {Prentice-Hall, Inc.},
+  year = {1987},
+  address = {Englewood Cliffs, NJ},
+  edition = {},
+  gender={sm},
+}
 @BOOK{tm409,
   author = {Gross, Dietmar and Hauger, Werner and Wriggers, Peter},
   title = {Technische Mechanik},

sections/Theorie.tex

@@ -367,9 +367,10 @@ Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
 
 
 \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
-...
+~[[Massenmatrixumwandlung]]
+Es resultiert das halbdiskrete Bewegungsgleichungssystem
 \[
-  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
+  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}(t) + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}(t) + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\hat{r}}(t)
 \]
 Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\tensor{K}\) als Steifigkeitsmatrix sowie \(\tensor{\hat{r}}\) als Lastvektor.
 
@@ -401,11 +402,50 @@ Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten F
 \[
   [0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
 \]
+Für das halbdiskrete zeitlich abhängige FE"=Gleichungssystem zum Zeitpunkt \(t_{n+1}\)
+\[
+  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}_{n+1} = \tensor{\hat{r}}_{n+1}
+\]
+erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach Newmark \cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit
+\[
+  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
+  \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} +  \left[ (1-\delta)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \delta\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t \\[1em]\displaystyle
+  \tensor{\hat{u}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{u}}_{n} + \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}\Delta t + \left[ \left(\frac{1}{2}-\alpha \right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \alpha\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t^2 
+  \end{Array}
+\]
+worin \(\alpha\) und \(\delta\) Newmark"=Parameter sowie
+\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{u}}_{n}\) die bekannten Knotenbeschleunigung, Knotengeschwindigkeit und Knotenverschiebung zum Zeitpunkt \(t_n\) sind.
+Die Umschreibung des Gleichungssystem erfolgt nach einsetzen zu
+\[
+  \begin{Array}{llll} \displaystyle
+  \left[\frac{1}{\alpha\,\Delta t^2} \tensor{M} +
+  \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t} \tensor{D} + \tensor{K}\right]\tensor{\hat{u}}_{n+1} =\\[1em]
+  \displaystyle \tensor{\hat{r}}_{n+1} +
+  \tensor{M}\left[ \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\tensor{\hat{u}}_{n} + \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right] +
+  \tensor{D}\left[ \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{u}}_{n} + \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right]
+  \end{Array}
+\]
+Mit der jetzigen Kenntnis von \(\tensor{\hat{u}}_{n+1}\) können mit den folgenden Gleichungen \(\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1}\) und \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1}\) bestimmt werden
+\[
+  \begin{Array}{llll} \displaystyle
+  \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} = \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\left(\tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n}\right) - \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
+  \\[1em] \displaystyle
+  \tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} = \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\left( \tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n} \right) - \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
+  \end{Array}
+\]
+Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem Newmark"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert
+\[
+  \delta\geq\frac{1}{2}~,\quad \alpha\geq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\delta\right)^2
+\]
+Erfüllen die Newmark"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87}
+Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der Newmark"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die Newmark"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben
+\[
+  \delta = \frac{1}{2}+\gamma~,\quad
+  \alpha = \frac{1}{4}(1+\gamma)^2~,\quad
+  \gamma \geq 0
+\]
 
-Zeitintegration nach Newmark \cite{newmark59}...
+%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\
 
 
-\paragraph{Stationäre Analyse}~\\
-
-
-\paragraph{Dämpfung}~\\
+%\paragraph{Dämpfung}~\\