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\thispagestyle{plain}
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\section{Theoretische Grundlagen}\label{sec:Theorie}
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\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
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\ac{CAD}
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%\subsubsection{Flächendarstellung}
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%\subsubsection{Datenaustausch}
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\subsection{Faserverbundwerkstoffe}
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%\subsection{Aerodynamik einer Windenergieanlage}
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%\subsection{Strukturdynamik einer Windenergieanlage}
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\subsection{Numerische Strukturmechanik}
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Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
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So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten
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als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse.
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Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
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%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Prograe einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten
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als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse.
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Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
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%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
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%verwiesen.
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Die Grundlage dieser Darstellung wiederum sind die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch.
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Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
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Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
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und bei allgemeinen dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
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Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
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Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
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die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
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die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
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die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
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\subsubsection{Statische Analysen}
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Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung --
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\[
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\begin{Array}{rll}
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\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
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|
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
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|
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
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&&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
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\end{Array}
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\]
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Die Summe der
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%partiell abgeleiteten
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%inneren Spannungen
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gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
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~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften.
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Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
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Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
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%\begin{tikzpicture}
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% \tikzcuboid{%
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% shiftx=0cm,%
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% shifty=0cm,%
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% scale=1.00,%
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% rotation=0,%
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% densityx=1,%
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% densityy=1,%
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% densityz=1,%
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% dimx=2,%
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% dimy=2,%
|
|
% dimz=2,%
|
|
% front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},%
|
|
% right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},%
|
|
% top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},%
|
|
% anglex=-7,%
|
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% angley=90,%
|
|
% anglez=221.5,%
|
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% scalex=1,%
|
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% scaley=1,%
|
|
% scalez=0.5,%
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|
% emphedge=false,%
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% shade,%
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% shadeopacity=0.15,%
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% }
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|
%\end{tikzpicture}
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|
%
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\begin{figure}[H]\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
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|
{
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|
\fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
|
|
|
|
\draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
|
|
\draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
|
|
\draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
|
|
|
|
\draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
|
|
\draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
|
|
\draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
|
|
|
|
\draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
|
|
\draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
|
|
\draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
|
|
|
|
% Z-Ebene
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|
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$};
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|
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$};
|
|
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$};
|
|
|
|
% X-Ebene
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|
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$};
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|
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$};
|
|
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$};
|
|
|
|
% Y-Ebene
|
|
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$};
|
|
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$};
|
|
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$};
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|
|
% Koordinatensystem
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|
\draw[->] (-.9,0,0) -- (-.6,0,0) node[right] {$x$};
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|
\draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,.3,0) node[above] {$y$};
|
|
\draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,0,.3) node[below left] {$z$};
|
|
}
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\hspace{.5em}
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%\raisebox{0.9em}{
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%\begin{tikzpicture}[scale=2]
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|
%{
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|
% \fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
|
|
% \draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle;
|
|
% \draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$};
|
|
% \draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0);
|
|
%}
|
|
%\end{tikzpicture}
|
|
%}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
|
|
{
|
|
\fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
|
|
|
|
\draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
|
|
\draw[color=black!50] (0,0,1) -- node[below left,color=black]{$\dif z$} (0,1,1);
|
|
\draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
|
|
|
|
\draw[color=black!50] (0,1,1) -- node[above left=-4pt and -4pt,color=black]{$\dif y$} (0,1,0);
|
|
\draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
|
|
\draw[color=black!50] (0,1,0) -- node[above left,color=black]{$\dif x$} (1,1,0);
|
|
|
|
\draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
|
|
\draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
|
|
\draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
|
|
|
|
\draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (1,0,0);
|
|
\draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,1,0);
|
|
\draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,0,1);
|
|
|
|
% X-Ebene
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|
\fill[color=black!35] (1,.45,.55) -- (1,.45,.45) -- (1,.55,.45) -- (1,.55,.55) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!15] (0,.45,.55) -- (0,.45,.45) -- (0,.55,.45) -- (0,.55,.55) -- cycle;
|
|
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\displaystyle\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x$};
|
|
\draw[->] (0,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
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|
|
|
% Y-Ebene
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\fill[color=black!25] (.45,1,.55) -- (.55,1,.55) -- (.55,1,.45) -- (.45,1,.45) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!15] (.45,0,.55) -- (.55,0,.55) -- (.55,0,.45) -- (.45,0,.45) -- cycle;
|
|
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y$};
|
|
\draw[->,dashed] (.5,0,.5) -- (.1,0,.5) node[below] {$\tau\ti{yx}$};
|
|
|
|
% Z-Ebene
|
|
\fill[color=black!12] (.45,.45,1) -- (.55,.45,1) -- (.55,.55,1) -- (.45,.55,1) -- cycle;
|
|
\fill[color=black!12] (.45,.45,0) -- (.55,.45,0) -- (.55,.55,0) -- (.45,.55,0) -- cycle;
|
|
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z$};
|
|
\draw[->,dashed] (.5,.5,0) -- (.1,.5,0) node[above right] {$\tau\ti{zx}$};
|
|
|
|
% fx
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|
\draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$} -- (.1,.5,.5);
|
|
}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
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|
\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht}
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\end{figure} \vspace{-1.5em}
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\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
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|
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
|
|
\[
|
|
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
|
|
% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
|
|
}_{\delta W\ti{a}}
|
|
\]
|
|
wobei
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%\( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
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|
%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
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%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
|
|
%(Gauß'sche Integralsatz)
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|
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
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|
(Green'sche Integralsatz)
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|
sowie
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|
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.
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|
\paragraph{Materialgesetz}~\\
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Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das folgende Materialgesetz
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\[
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\begin{Array}{rrcll}
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|
&\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon} \\
|
|
\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
|
|
\end{Array}
|
|
\]
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|
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
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Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
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|
|
|
Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
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|
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
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|
|
|
\paragraph{Kinematik}~\\
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|
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen,
|
|
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
|
|
ist als Verzerrungstensor gegeben
|
|
\[
|
|
\begin{Array}{rrll}
|
|
&\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) %= \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right)
|
|
\\
|
|
\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
|
|
\end{Array}
|
|
\]
|
|
%\[
|
|
% \begin{Array}{rrll}
|
|
% &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
|
|
% \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
|
|
% \end{Array}
|
|
%\]
|
|
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
|
|
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
|
|
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
|
|
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
|
|
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
|
|
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
|
|
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
|
|
% \end{bmatrix} \]
|
|
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
|
|
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
|
|
|
|
\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
|
|
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}
|
|
\[
|
|
V \approx \bigcup V^{(e)}
|
|
\]
|
|
Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elemente.
|
|
|
|
Die \emph{Approximation}, mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten, lautet
|
|
\[
|
|
\tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
|
|
\]
|
|
worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind.
|
|
Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet (acht Knoten) nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
|
|
\[
|
|
\tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}
|
|
\]
|
|
Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
|
|
\[
|
|
\begin{Array}{lll} \displaystyle
|
|
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} =
|
|
\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
|
|
\quad , \\[4.5em]
|
|
\displaystyle
|
|
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} =
|
|
\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
|
|
\end{Array}
|
|
\]
|
|
Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
|
|
\[
|
|
\begin{Array}{rll} \displaystyle
|
|
\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle =
|
|
\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V =
|
|
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}} \\[2em]
|
|
& \displaystyle =
|
|
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em]
|
|
& \displaystyle =
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|
\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
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\end{Array}
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\]
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Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
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Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.
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Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
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\[
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\begin{Array}{rll} \displaystyle
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle =
|
|
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \sum\limits_{(e)} \delta\tensorI{\hat{u}}^\T\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A \\[2em]
|
|
& \displaystyle =
|
|
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A\\[1.5em]
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|
& \displaystyle =
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|
\delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
|
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\end{Array}
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\]
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Hierin ist \(\tensor{\hat{r}}\) der Knotenlastvektor.
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Mit den beiden virtuellen Arbeitsaussagen lautet das globale Gleichgewicht
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\[
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}
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|
\]
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Abschließend wird die virtuelle Verschiebung ausgeklammert
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\[
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad\rightarrow\quad
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T (\tensor{K} \tensor{\hat{u}} - \tensor{\hat{r}}) = 0
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\]
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Aus dem Variationsargument, dass diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen gelten soll, muss der Klammerausdruck zu Null werden und es folgt das lineare FE"=Gleichungssystem.
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\[
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\tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
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\]
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Gelöst wird das Gleichungssystem nach
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\[
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\tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
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\]
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wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
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mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert
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\[
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\tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
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\]
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\subsubsection{Dynamische Analysen}
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Im Gegensatz zu dem statischen Fall~\(\tensorI{u}(\tensorI{x})\) sind bei dynamischen zeitabhängigen Problemen~\(\tensorI{u}(\tensorI{x},t)\) -- die Bewegungen beschreiben -- Trägheitskräfte \(\rho\tensorI{\ddt{u}}\) zu berücksichtigen.
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Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtung.
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Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt
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\[
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\begin{Array}{rlll}
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\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
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\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
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\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
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&&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
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\end{Array}
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\]
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Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.
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Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen
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\[
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\begin{Array}{rlll}
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|
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
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\end{Array}
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\]
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Zu den Anfangsbedingungen gehören
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\[
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\begin{Array}{rlll}
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\tensorI{u}(\tensorI{x},0) = \tensorI{u}_0 \\
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|
\tensorI{\dt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\dt{u}}_0 \\
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\tensorI{\ddt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\ddt{u}}_0 \\
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|
\end{Array}
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\]
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Da diese möglichen Anfangsbedingungen nicht unabhängig voneinander sind, werden nur zwei der drei Anfangsbedingungen je Materialpunkt vorgeschrieben.
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Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Differentialgleichung zum Zeitpunkt \(t=0\).
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\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
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Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
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\[
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\int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
|
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= \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A
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% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
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\quad \forall t \in [0,T]
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\]
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\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
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~[[Massenmatrixumwandlung]]
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Es resultiert das halbdiskrete Bewegungsgleichungssystem
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\[
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\tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}(t) + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}(t) + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\hat{r}}(t)
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\]
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Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\tensor{K}\) als Steifigkeitsmatrix sowie \(\tensor{\hat{r}}\) als Lastvektor.
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\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
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Die Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung
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\[
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\tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
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\]
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Einsetzen des Lösungsansatzes
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\[
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\tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
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\]
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in die Differentialgleichung liefert das (reelle) Eigenwertproblem
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\[
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(-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2
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\]
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wobei allgemein \(\euler^{\im\omega t} \neq 0 \) gilt.
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Für die Nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
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\[
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\det{(\tensor{K}-\lambda\tensor{M})} = 0
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\]
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Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\Phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.
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[[Modale Superposition, Orthogonalität der Eigenvektoren, ggf. Effektive Massen]]
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\paragraph{Transiente Analyse}~\\
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Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
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\[
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[0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
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\]
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Für das halbdiskrete zeitlich abhängige FE"=Gleichungssystem zum Zeitpunkt \(t_{n+1}\)
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\[
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\tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}_{n+1} = \tensor{\hat{r}}_{n+1}
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|
\]
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|
erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach Newmark \cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit
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\[
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\begin{Array}{rlll} \displaystyle
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\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left[ (1-\delta)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \delta\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t \\[1em]\displaystyle
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|
\tensor{\hat{u}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{u}}_{n} + \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}\Delta t + \left[ \left(\frac{1}{2}-\alpha \right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \alpha\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t^2
|
|
\end{Array}
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|
\]
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|
worin \(\alpha\) und \(\delta\) Newmark"=Parameter sowie
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\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{u}}_{n}\) die bekannten Knotenbeschleunigung, Knotengeschwindigkeit und Knotenverschiebung zum Zeitpunkt \(t_n\) sind.
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|
Die Umschreibung des Gleichungssystem erfolgt nach einsetzen zu
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\[
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\begin{Array}{llll} \displaystyle
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|
\left[\frac{1}{\alpha\,\Delta t^2} \tensor{M} +
|
|
\frac{\delta}{\alpha\,\Delta t} \tensor{D} + \tensor{K}\right]\tensor{\hat{u}}_{n+1} =\\[1em]
|
|
\displaystyle \tensor{\hat{r}}_{n+1} +
|
|
\tensor{M}\left[ \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\tensor{\hat{u}}_{n} + \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right] +
|
|
\tensor{D}\left[ \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{u}}_{n} + \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right]
|
|
\end{Array}
|
|
\]
|
|
Mit der jetzigen Kenntnis von \(\tensor{\hat{u}}_{n+1}\) können mit den folgenden Gleichungen \(\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1}\) und \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1}\) bestimmt werden
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|
\[
|
|
\begin{Array}{llll} \displaystyle
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|
\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} = \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\left(\tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n}\right) - \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
|
|
\\[1em] \displaystyle
|
|
\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} = \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\left( \tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n} \right) - \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
|
|
\end{Array}
|
|
\]
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|
Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem Newmark"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert
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\[
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\delta\geq\frac{1}{2}~,\quad \alpha\geq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\delta\right)^2
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\]
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Erfüllen die Newmark"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87}
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Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der Newmark"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die Newmark"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben
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\[
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\delta = \frac{1}{2}+\gamma~,\quad
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|
\alpha = \frac{1}{4}(1+\gamma)^2~,\quad
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\gamma \geq 0
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\]
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%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\
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%\paragraph{Dämpfung}~\\ |