Formelzeichen erweitert

sections/Modellentwicklung.tex

@@ -448,20 +448,20 @@ Die Simulation erfolgt mit dem FEM"=Programm \emph{ANSYS} über die \emph{Workbe
 In Übereinstimmung mit dem Masterprojekt \cite{MP15} listet Tabelle~\ref{tab:Materialien} die im Simulationsmodell in Verwendung kommenden Materialien auf. Entnommen sind die Informationen der ANSYS"=Einlesedatei \texttt{shell7.src} von Zeile 77 bis 143.
 \begin{table}[H]
 \caption[Materialien]{Materialien}\label{tab:Materialien}\centering
-\begin{tabular}{lrrrlrll}
+\begin{tabular}{lrrrllll}
 \toprule
 Materialbezeichnung & \multicolumn{3}{l}{Elastizitäts- und Schubmoduln} & Querkontraktion & Dichte \\
  & \(E\ti{x}\) & \(E\ti{y}, E\ti{z}\) & \(G\ti{xy}, G\ti{yz}, G\ti{zx}\) & \(\nu\ti{xy}, \nu\ti{yz}, \nu\ti{zx}\) & \(\rho\) \\
 \midrule
-Carbon(UD)    & 114.500 &  8.390 &  5.990 & 0,27 & 1.220 \\
-E-LT-5500(UD) &  41.800 & 14.000 &  2.630 & 0,28 & 1.920 \\
-FOAM          &     256 &        &        & 0,3  &   200 \\
-Gelcoat       &   3.440 &        &        & 0,3  & 1.235 \\
-Saertex(DB)   &  13.600 & 13.300 & 11.800 & 0,49 & 1.780 \\
-SNL(Triax)    &  27.700 & 13.650 &  7.200 & 0,39 & 1.850 \\
-Turm          & 210.000 &        &        & 0,3  & 8.500 \\
+Carbon(UD)    & 114.500 &  8.390 &  5.990 & 0,27 & 1,220 \\
+E-LT-5500(UD) &  41.800 & 14.000 &  2.630 & 0,28 & 1,920 \\
+FOAM          &     256 &        &        & 0,3  & 0,200 \\
+Gelcoat       &   3.440 &        &        & 0,3  & 1,235 \\
+Saertex(DB)   &  13.600 & 13.300 & 11.800 & 0,49 & 1,780 \\
+SNL(Triax)    &  27.700 & 13.650 &  7.200 & 0,39 & 1,850 \\
+Turm          & 210.000 &        &        & 0,3  & 8,500 \\
 \bottomrule\noalign{\vspace{-.15em}}
-\small Werte in: &\small MPa &\small MPa &\small MPa &\small  &\small kg/m\(^3\) \\
+\small Werte in: &\small MPa &\small MPa &\small MPa &\small  &\small t/m\(^3\) \\
 \noalign{\vspace{-.25em}}\bottomrule
 \end{tabular}
 \end{table}\vspace{-1em}

sections/SymbolsCodes.tex

@@ -8,50 +8,75 @@
 \begin{longtable*}[l]{lll}
 \(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\
 \(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\
-\(C^n\) & & Stetige Funktionen und n-fach stetig ableitbar \\
+\(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\
 \(\tensorIV{C}\) & & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\
-\(\tensor{D}\) & & Operatormatrix \\
+\(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\
+\(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\
+\(\tensor{\tilde{D}}\) & & Modale Dämpfungsmatrix \\
+\(\mathcal{D}\) & & Operatormatrix \\
+\(d\) & N\,s/m; N\,m\,s & Dämpfungskonstante \\
+\(f\) & Hz & Eigenfrequenz \\
 \(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\
 \(L\) & mm & Länge \\
 \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\
 \(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\
+\(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\
+\(\tensor{M}\) & & Gesamtmassenmatrix \\
+\(\tensor{M}^{(e)}\) & & Elementmassenmatrix \\
+\(\tensor{\tilde{M}}\) & & Modale Massenmatrix \\
 \(\tensor{N}\) &  & Formfunktionen \\
 \(\tensorI{n}\) &  & Normalenvektor \\
+\(\tensor{q}\) &  & Modale Koordinaten \\
 \(\tensor{\hat{r}}\) & N & Knotenlastvektor \\
+\(T\) & s & Simulationsdauer \\
+\(t\) & s & Zeit \\
 \(\tensorI{t}\) & MPa & Spannungsvektor \\
-\(\tensorI{u}\) & mm & Verschiebungen \\
-\(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm & FE"=Verschiebung \\
-\(\tensor{\hat{u}}\) & mm & Knotenverschiebungen \\
+\(\tensorI{u}\) & mm; 1 & Verschiebungen \\
+\(\tensorI{\dt{u}}\) & mm/s; 1/s & Geschwindigkeit \\
+\(\tensorI{\ddt{u}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Beschleunigung \\
+\(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm; 1 & FE"=Verschiebung \\
+\(\tensor{\hat{u}}\) & mm; 1 & Knotenverschiebungen \\
+\(\tensor{\hat{\dt{u}}}\) & mm/s; 1/s & Knotengeschwindigkeiten \\
+\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\
 \(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\
+\(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\
+\(\tensorI{x}\) & mm & Ortsvektor \\
 [0.25cm]
+\(\alpha\) &  & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\
+\(\alpha\) &  & Rayleigh"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\
+\(\beta\) &  & Rayleigh"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\
+\(\gamma\) &  & Abklingkonstante, Abgeleiteter Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\
+\(\Delta t\) &  & Diskreter Zeitabschnitt \\
+\(\delta\) &  & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\
 \(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\
 \(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\
 \(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\
 \(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\
 \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\
+\(\lambda\) &  & Eigenwert \\
 \(\nu\) &  & Querkontraktionszahl \\
+\(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\
 \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & Cauchy Spannungstensor \\
-%[0.25cm]
-%\multicolumn{3}{l}{\hspace{-0.5em}\textsf{\textbf{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}}}\\
-%\(\forall\) &  & Für alle bzw. für jedes \\
-%\(\in\) &  & Ist Element von oder kurz: In / Aus \\
-%\(\nabla()\) &  & Gradient \\
-%\(\nabla\cdot()\) &  & Divergenz \\
-%\(\cdot\) &  & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\
-%\(:\) &  & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\
-%\(\big|\) &  & An der Stelle bzw. and den Stellen \\
+\(\tensor{\Phi}\) &  & Modale Matrix \\
+\(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\
+\(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\
 \end{longtable*}
 
-\paragraph{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}~\\
+\paragraph{Mathematische Notation}~\\
 \vspace{-2em}
 \begin{longtable*}[l]{lll}
 \(\forall\) &  & Für alle bzw. für jedes \\
 \(\in\) &  & Ist Element von oder kurz: In\,/\,Aus \\
+\(\wedge\) &  & Logisches \emph{und} \\
+\(\bigcup\) &  & Vereinigungsmenge \\
+\(\bigcap\) &  & Durchschnittsmenge \\
+\(\emptyset\) &  & Leere Menge \\
 \(\nabla()\) &  & Gradient \\
 \(\nabla\cdot()\) &  & Divergenz \\
 \(\cdot\) &  & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\
 \(:\) &  & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\
 \(\big|\) &  & An der Stelle bzw. and den Stellen \\
+\(C^n\) & & Stetige Funktionen und n-fach stetig ableitbar \\
 \end{longtable*}
 
 \vspace{-2.25em}

sections/Theorie.tex

@@ -237,7 +237,7 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben
   \begin{Array}{rrll} 
   &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
   \\
-  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
+  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
   \end{Array}
 \]
 %\[
@@ -289,7 +289,9 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc
   \begin{Array}{rll} \displaystyle
   \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = 
   \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V  = 
-  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}}  \\[2em]
+  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T 
+  \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!
+  \underbrace{\left( \mathcal{D} \tensor{N} \right)^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\mathcal{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}}  \\[2em]
     & \displaystyle = 
   \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} =  \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em]
     & \displaystyle =