diff --git a/sections/Modellentwicklung.tex b/sections/Modellentwicklung.tex index cca6849..bdbaa79 100755 --- a/sections/Modellentwicklung.tex +++ b/sections/Modellentwicklung.tex @@ -448,20 +448,20 @@ Die Simulation erfolgt mit dem FEM"=Programm \emph{ANSYS} über die \emph{Workbe In Übereinstimmung mit dem Masterprojekt \cite{MP15} listet Tabelle~\ref{tab:Materialien} die im Simulationsmodell in Verwendung kommenden Materialien auf. Entnommen sind die Informationen der ANSYS"=Einlesedatei \texttt{shell7.src} von Zeile 77 bis 143. \begin{table}[H] \caption[Materialien]{Materialien}\label{tab:Materialien}\centering -\begin{tabular}{lrrrlrll} +\begin{tabular}{lrrrllll} \toprule Materialbezeichnung & \multicolumn{3}{l}{Elastizitäts- und Schubmoduln} & Querkontraktion & Dichte \\ & \(E\ti{x}\) & \(E\ti{y}, E\ti{z}\) & \(G\ti{xy}, G\ti{yz}, G\ti{zx}\) & \(\nu\ti{xy}, \nu\ti{yz}, \nu\ti{zx}\) & \(\rho\) \\ \midrule -Carbon(UD) & 114.500 & 8.390 & 5.990 & 0,27 & 1.220 \\ -E-LT-5500(UD) & 41.800 & 14.000 & 2.630 & 0,28 & 1.920 \\ -FOAM & 256 & & & 0,3 & 200 \\ -Gelcoat & 3.440 & & & 0,3 & 1.235 \\ -Saertex(DB) & 13.600 & 13.300 & 11.800 & 0,49 & 1.780 \\ -SNL(Triax) & 27.700 & 13.650 & 7.200 & 0,39 & 1.850 \\ -Turm & 210.000 & & & 0,3 & 8.500 \\ +Carbon(UD) & 114.500 & 8.390 & 5.990 & 0,27 & 1,220 \\ +E-LT-5500(UD) & 41.800 & 14.000 & 2.630 & 0,28 & 1,920 \\ +FOAM & 256 & & & 0,3 & 0,200 \\ +Gelcoat & 3.440 & & & 0,3 & 1,235 \\ +Saertex(DB) & 13.600 & 13.300 & 11.800 & 0,49 & 1,780 \\ +SNL(Triax) & 27.700 & 13.650 & 7.200 & 0,39 & 1,850 \\ +Turm & 210.000 & & & 0,3 & 8,500 \\ \bottomrule\noalign{\vspace{-.15em}} -\small Werte in: &\small MPa &\small MPa &\small MPa &\small &\small kg/m\(^3\) \\ +\small Werte in: &\small MPa &\small MPa &\small MPa &\small &\small t/m\(^3\) \\ \noalign{\vspace{-.25em}}\bottomrule \end{tabular} \end{table}\vspace{-1em} diff --git a/sections/SymbolsCodes.tex b/sections/SymbolsCodes.tex index 4961a95..479f8b3 100755 --- a/sections/SymbolsCodes.tex +++ b/sections/SymbolsCodes.tex @@ -8,50 +8,75 @@ \begin{longtable*}[l]{lll} \(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\ \(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\ -\(C^n\) & & Stetige Funktionen und n-fach stetig ableitbar \\ +\(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\ \(\tensorIV{C}\) & & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\ -\(\tensor{D}\) & & Operatormatrix \\ +\(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\ +\(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\ +\(\tensor{\tilde{D}}\) & & Modale Dämpfungsmatrix \\ +\(\mathcal{D}\) & & Operatormatrix \\ +\(d\) & N\,s/m; N\,m\,s & Dämpfungskonstante \\ +\(f\) & Hz & Eigenfrequenz \\ \(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\ \(L\) & mm & Länge \\ \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\ -\(\tensor{K}^{(e)}\) & &Elementsteifigkeitsmatrix \\ +\(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\ +\(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\ +\(\tensor{M}\) & & Gesamtmassenmatrix \\ +\(\tensor{M}^{(e)}\) & & Elementmassenmatrix \\ +\(\tensor{\tilde{M}}\) & & Modale Massenmatrix \\ \(\tensor{N}\) & & Formfunktionen \\ \(\tensorI{n}\) & & Normalenvektor \\ +\(\tensor{q}\) & & Modale Koordinaten \\ \(\tensor{\hat{r}}\) & N & Knotenlastvektor \\ +\(T\) & s & Simulationsdauer \\ +\(t\) & s & Zeit \\ \(\tensorI{t}\) & MPa & Spannungsvektor \\ -\(\tensorI{u}\) & mm & Verschiebungen \\ -\(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm & FE"=Verschiebung \\ -\(\tensor{\hat{u}}\) & mm & Knotenverschiebungen \\ +\(\tensorI{u}\) & mm; 1 & Verschiebungen \\ +\(\tensorI{\dt{u}}\) & mm/s; 1/s & Geschwindigkeit \\ +\(\tensorI{\ddt{u}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Beschleunigung \\ +\(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm; 1 & FE"=Verschiebung \\ +\(\tensor{\hat{u}}\) & mm; 1 & Knotenverschiebungen \\ +\(\tensor{\hat{\dt{u}}}\) & mm/s; 1/s & Knotengeschwindigkeiten \\ +\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\ \(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\ +\(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\ +\(\tensorI{x}\) & mm & Ortsvektor \\ [0.25cm] +\(\alpha\) & & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\ +\(\alpha\) & & Rayleigh"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\ +\(\beta\) & & Rayleigh"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\ +\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\ +\(\Delta t\) & & Diskreter Zeitabschnitt \\ +\(\delta\) & & Newmark"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\ \(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\ \(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\ \(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\ \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\ +\(\lambda\) & & Eigenwert \\ \(\nu\) & & Querkontraktionszahl \\ +\(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\ \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & Cauchy Spannungstensor \\ -%[0.25cm] -%\multicolumn{3}{l}{\hspace{-0.5em}\textsf{\textbf{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}}}\\ -%\(\forall\) & & Für alle bzw. für jedes \\ -%\(\in\) & & Ist Element von oder kurz: In / Aus \\ -%\(\nabla()\) & & Gradient \\ -%\(\nabla\cdot()\) & & Divergenz \\ -%\(\cdot\) & & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\ -%\(:\) & & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\ -%\(\big|\) & & An der Stelle bzw. and den Stellen \\ +\(\tensor{\Phi}\) & & Modale Matrix \\ +\(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\ +\(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\ \end{longtable*} -\paragraph{Mathematische Ausdrücke und Operatoren}~\\ +\paragraph{Mathematische Notation}~\\ \vspace{-2em} \begin{longtable*}[l]{lll} \(\forall\) & & Für alle bzw. für jedes \\ \(\in\) & & Ist Element von oder kurz: In\,/\,Aus \\ +\(\wedge\) & & Logisches \emph{und} \\ +\(\bigcup\) & & Vereinigungsmenge \\ +\(\bigcap\) & & Durchschnittsmenge \\ +\(\emptyset\) & & Leere Menge \\ \(\nabla()\) & & Gradient \\ \(\nabla\cdot()\) & & Divergenz \\ \(\cdot\) & & Skalarprodukt zweier Vektoren bzw.\,Tensoren 1. Stufe \\ \(:\) & & Querkontraktion; ein Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe \\ \(\big|\) & & An der Stelle bzw. and den Stellen \\ +\(C^n\) & & Stetige Funktionen und n-fach stetig ableitbar \\ \end{longtable*} \vspace{-2.25em} diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index 83531e0..c15f4fe 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -237,7 +237,7 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben \begin{Array}{rrll} &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) \\ - \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix} + \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix} \end{Array} \] %\[ @@ -289,7 +289,9 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc \begin{Array}{rll} \displaystyle \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V = - \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}} \\[2em] + \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T + \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! + \underbrace{\left( \mathcal{D} \tensor{N} \right)^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\mathcal{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}} \\[2em] & \displaystyle = \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em] & \displaystyle =