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Daniel Weschke
2015-07-15 22:34:47 +02:00
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@@ -617,14 +617,18 @@ Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\
\paragraph{Dämpfung}~\\
Der allgemeine Dämpfungsansatz erfolgt, wie gezeigt, in gleicherweise wie die Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix durch Überlagerung von Elementmatrizen.
Dies entspricht den konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpferelemente, die mit bekannte Dämpfungskonstante \(d\) berücksichtigt werden,
und führt zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Körper oder zwischen Körper und Fluid gemeint.
und führt allgemeinen zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Festkörper oder zwischen Festkörper und Fluid gemeint.
Bei Verwendung der proportionalen Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder Rayleigh"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
Bei der Verwendung von proportionaler Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder Rayleigh"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
\[
\tensor{D} = \alpha\tensor{M} + \beta\tensor{K}
\]
[[Dieser Ansatz wird nicht zuletzt auch wegen der Diagonalisierbarkeit der Dämpfungsmatrix verwendet]]
Die massenproportionale Dämpfung \(\alpha\tensor{M}\) wirkt besonders auf die unteren Eigenfrequenzen und kann als äußere Dämpfung interpretiert werden, wie beispielsweise die Dämpfung durch ein umgebendes Medium.
Die steifigkeitsproportionale Dämpfung \(\beta\tensor{K}\) wirkt hingegen besonders auf die höheren Eigenfrequenzen und kann, aufgrund der Abhängigkeit mit der elastischen Verformung, als innere Dämpfung interpretiert werden.
\cite{femp08}
%[[Dieser Ansatz wird nicht zuletzt auch wegen der Diagonalisierbarkeit der Dämpfungsmatrix verwendet]]
\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen.
@@ -642,7 +646,7 @@ in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
(-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2
\]
wobei allgemein \(\euler^{\im\omega t} \neq 0 \) gilt.
Für die Nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
Für die nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
\[
\det{(\tensor{K}-\lambda\tensor{M})} = 0
\]
@@ -690,7 +694,7 @@ Als Lösung ergeben sich komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren.
Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämnpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil, so nehmen beispielsweise die Amplituden über der Zeit immer größere Werte an.
[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]
%[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]
\paragraph{Transiente Analyse}~\\
Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt