Geometrische Nichtlinearität hinzugefügt

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@@ -263,12 +263,12 @@ Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Ab
 die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren (\(C_{ijkl} = C_{klij}\) beziehungsweise \(C_{rs} = C_{sr}\) mit \(r,s=1,2,3,4,5,6\)).
 
 Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
-Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
+Für eine genauere Darstellung von beispielsweise Plastizität oder hyperelastisches Materialverhalten wird auf \cite{becker02} und \cite{roesler12} verwiesen.
 
 \paragraph{Kinematik}~\\
-Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen, 
+Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
 %sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
-ist als Verzerrungstensor gegeben
+als Verzerrungstensor gegeben
 \[
   \begin{Array}{rrll} 
   &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
@@ -306,9 +306,71 @@ oder ausführlich
     u_1 \\ u_2 \\ u_3
   \end{bmatrix}
 \]
-hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
+Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
+Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet.
 Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
-Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
+%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
+Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen
+\begin{itemize}
+\item Gleichgewicht am unverformten System,
+\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und
+\item kleine Dehnungen
+\end{itemize}
+aufzuheben.
+
+Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen beschreiben \cite{roesler12}
+\[
+  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right)
+  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F}
+\]
+Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix.
+Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab.
+Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential 
+\[
+  \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j
+  \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}
+  \qquad \text{bzw.}\quad
+  \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x}
+\]
+gegeben.
+Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben.
+\[
+  \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U}
+\]
+Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor
+\[
+  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0}
+\]
+Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor.
+
+Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben.
+%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet.
+Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt
+\[
+  \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X}
+\]
+Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend 
+\[
+  \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
+  = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} 
+  = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} 
+  \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
+\]
+Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
+Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
+\[
+  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right)
+  \quad \text{bzw.}\quad
+  E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right)
+\]
+Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung.
+
+Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie.
+Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmische oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12}
+\[
+  \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) 
+  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2
+\]
 
 \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
 Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}