diff --git a/sections/References.bib b/sections/References.bib index a7ce843..2298412 100755 --- a/sections/References.bib +++ b/sections/References.bib @@ -31,6 +31,39 @@ isbn = {3-540-43511-5}, gender={pm}, } +@BOOK{roesler12, + author = {Rösler, Joachim and Harders, Harald and Bäker, Martin}, + title= {Mechanisches Verhalten der Werkstoffe}, + subtitle= {}, + publisher = {Springer Vieweg}, + year = {2012}, + address = {Wiesbaden}, + edition = {4}, + isbn = {978-3-834-81818-8}, + gender={pm}, +} +@BOOK{wriggers01, + author = {Wriggers, Peter}, + title= {Nichtlineare Finite-Element-Methoden}, + subtitle= {}, + publisher = {Springer-Verlag}, + year = {2001}, + address = {Berlin Heidelberg}, + edition = {}, + isbn = {978-3-540-67747-5}, + gender={sm}, +} +@BOOK{nasdala12, + author = {Nasdala, Lutz}, + title= {FEM -- Formelsammlung Statik und Dynamik}, + subtitle= {Hintergrunhdinformationen, Tipps und Tricks}, + publisher = {Springer Vieweg}, + year = {2012}, + address = {Wiesbaden}, + edition = {2}, + isbn = {978-3-834-81841-6}, + gender={sm}, +} @BOOK{femp08, author = {Stelzmann, Ulrich and Groth, Clemens and Müller, Günter}, title= {FEM für Praktiker}, diff --git a/sections/SymbolsCodes.tex b/sections/SymbolsCodes.tex index 277515f..7ce4246 100755 --- a/sections/SymbolsCodes.tex +++ b/sections/SymbolsCodes.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\ \(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\ \(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\ -\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix \\ +\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix, rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\ \(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor \\ \(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\ \(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\ @@ -17,10 +17,15 @@ \(\mathcal{D}\) & & Differentialoperatormatrix \\ \(\tensor{d}_k\) & & Starrkörperbewegungsvektor \\ \(d\) & N\,s/m; N\,m\,s & Dämpfungskonstante \\ +\(\tensorII{E}\ti{G}\) & & \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor \\ +\(\tensorII{E}\ti{H}\) & & \textsc{Hencky}"=Verzerrungstensor \\ \(\tensorI{e}\) & & Einheitsvektor \\ +\(\tensorII{F}\) & & Deformationsgradient \\ \(f\) & Hz & Eigenfrequenz \\ \(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\ +\(\tensorII{H}\) & & Verschiebungsgradient \\ \(h\) & mm & Einzelschichtdicke \\ +\(\tensorII{I}\) & & Einheitsmatrix \\ \(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\ \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\ \(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\ @@ -37,7 +42,8 @@ \(\tensorI{n}\) & & Normalenvektor \\ \(\tensor{Q}\) & & Transformationsmatrix \\ \(\tensor{q}\) & mm; 1 & Modale Koordinaten \\ -\(\tensor{Q}\) & & \textsc{Reuter}"=Matrix \\ +\(\tensorII{R}\) & & Rotationsmatrix \\ +\(\tensor{R}\) & & \textsc{Reuter}"=Matrix \\ \(\tensor{\hat{r}}\) & N & Knotenlastvektor \\ \(\tensor{\tilde{r}}\) & & Modaler Knotenlastvektor \\ \(\tensor{S}\) & & Nachgiebigkeitsmatrix \\ @@ -45,7 +51,8 @@ \(t\) & s & Zeit \\ \(t\) & mm & Laminatdicke \\ \(\tensorI{t}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektor \\ -\(\tensorI{u}\) & mm; 1 & Verschiebungen \\ +\(\tensorII{U}\) & & Strecktensor \\ +\(\tensorI{u}\) & mm; 1 & Verschiebungsvektor \\ \(\tensorI{\dt{u}}\) & mm/s; 1/s & Geschwindigkeit \\ \(\tensorI{\ddt{u}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Beschleunigung \\ \(\tensor{u}\ti{fe}\) & mm; 1 & FE"=Verschiebung \\ @@ -55,8 +62,8 @@ \(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\ \(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\ \(w\ti{f}\) & MPa & Formänderungsenergiedichte \\ -\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten \\ -\(\tensorI{x}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten \\ +\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0) \\ +\(\tensorI{x}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Momentankonfiguration \\ [0.25cm] \(\alpha\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\alpha\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\ @@ -72,7 +79,7 @@ \(\tensor{\varepsilon}\) & & Dehnungen \\ \(\tensor{\varepsilon}\) & & Verzerrungsvektor \\ \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\ -\(\vartheta\) & & Winkel \\ +\(\vartheta\) & \(\degree\) & Winkel \\ \(\tensor{\kappa}\) & 1/mm & Krümmungen \\ \(\lambda\) & & Eigenwert \\ \(\nu\) & & Querkontraktionszahl \\ diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index 9de7c8a..bdc2ac6 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -263,12 +263,12 @@ Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Ab die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren (\(C_{ijkl} = C_{klij}\) beziehungsweise \(C_{rs} = C_{sr}\) mit \(r,s=1,2,3,4,5,6\)). Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\). -Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. +Für eine genauere Darstellung von beispielsweise Plastizität oder hyperelastisches Materialverhalten wird auf \cite{becker02} und \cite{roesler12} verwiesen. \paragraph{Kinematik}~\\ -Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen, +Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung %sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge -ist als Verzerrungstensor gegeben +als Verzerrungstensor gegeben \[ \begin{Array}{rrll} &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) @@ -306,9 +306,71 @@ oder ausführlich u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \] -hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix. +Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix. +Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet. Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\). -Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. +%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. +Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen +\begin{itemize} +\item Gleichgewicht am unverformten System, +\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und +\item kleine Dehnungen +\end{itemize} +aufzuheben. + +Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen beschreiben \cite{roesler12} +\[ + \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right) + \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} +\] +Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix. +Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab. +Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential +\[ + \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j + \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j} + \qquad \text{bzw.}\quad + \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x} +\] +gegeben. +Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben. +\[ + \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U} +\] +Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor +\[ + \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0} +\] +Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor. + +Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben. +%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet. +Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt +\[ + \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X} +\] +Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend +\[ + \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X} + = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} + = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} + \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right] +\] +Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient. +Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an +\[ + \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right) + \quad \text{bzw.}\quad + E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right) +\] +Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung. + +Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie. +Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmische oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12} +\[ + \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) + \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2 +\] \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\ Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}