Theorie - Statische Analyse: Erste vollständige Version eingebaut
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@@ -24,17 +24,20 @@ Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen
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So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten
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als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse.
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In den nachfolgenden Abschnitten wird auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
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Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86} und \cite{klein05} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
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Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
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verwiesen.
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Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
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Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
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und bei dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
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Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
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Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird; die Partitionierung, die Approximation und die Assemblierung.
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Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
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die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
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die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
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die Assemblierung welche das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
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\subsubsection{Statische Analysen}
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Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Formulierung --
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Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung --
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\[
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\begin{Array}{rcl}
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\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
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@@ -43,17 +46,124 @@ Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein bel
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&&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
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\end{Array}
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\]
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Die partiell abgeleiteten inneren Spannungen~\(\tensorII{\sigma}\) stehen mit den Volumenkräften~\(\tensorI{f}\) im Gleichgewicht.
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Dabei beschreiben die Randbedingungen zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
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Die Summe der partiell abgeleiteten inneren Spannungen~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht.
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Dabei beschreiben die Randbedingungen zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
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Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variationsprinzip -- das sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} -- herangezogen, mit der ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
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\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
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Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}),~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)), mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\).
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\[
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}}
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
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% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
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}_{\delta W\ti{a}}
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\]
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wobei \( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
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und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
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(Gauß'sche Integralsatz)
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wobei
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%\( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
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%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
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%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
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%(Gauß'sche Integralsatz)
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\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
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(Green'sche Integralsatz)
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sowie
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\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Die Integration erfolgt im linearen Fall über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen.
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\paragraph{Materialgesetz}~\\
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Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das folgende Materialgesetz
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\[
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\begin{Array}{rrcll}
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&\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon} \\
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\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
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\end{Array}
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\]
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Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem vergleichsweise eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) keine direkte Proportionalität vorherrscht.
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Damit ist die Elastizitätsbeziehung kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
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Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
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Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
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\paragraph{Kinematik}~\\
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Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen,
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%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
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ist als Verzerrungstensor gegeben
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\[
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\begin{Array}{rrll}
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&\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
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\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
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\end{Array}
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\]
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% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
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% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
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% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
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% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
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% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
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% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
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% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
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% \end{bmatrix} \]
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Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
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Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
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\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
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Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems startet mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise \emph{Partitionierung}
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\[
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V \approx \bigcup V^{(e)}
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\]
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Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen beziehungsweise Elemente.
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Die \emph{Approximation} als Überlagerung aller Formfunktionen mit den jeweiligen Knotenverformungen lautet
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\[
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\tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
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\]
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worin \( u\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(N\) die Formfunktionen und \(\hat{u}\) die Knotenverformung sind.
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Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
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\[
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\tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}
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\]
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Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
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\[
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} =
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\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
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\quad , \quad
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V}_{\delta W\ti{a}} =
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\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
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\]
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Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
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\[
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\begin{Array}{rll} \displaystyle
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}} \\
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& \displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\
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& \displaystyle =
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
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\end{Array}
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\]
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Hierin ist \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix. Für die äußere virtuelle Arbeit zu
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\[
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\begin{Array}{rll} \displaystyle
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V \\
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& \displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{f}\dif V\\
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& \displaystyle =
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
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\end{Array}
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\]
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Hierin ist \(\tensor{\hat{r}}\) der Knotenlastvektor.
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Mit den beiden virtuellen Arbeitsaussagen lautet das globale Gleichgewicht
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\[
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}
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Abschließend wird die virtuelle Verschiebung ausgeklammert
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\[
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad\rightarrow\quad
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T (\tensor{K} \tensor{\hat{u}} - \tensor{\hat{r}}) = 0
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\]
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Aus dem Variationsargument, dass diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen gelten soll, muss der Klammerausdruck zu Null werden.
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\[
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\tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
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\subsubsection{Dynamische Analysen}
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