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Differentialgleichung nun in Bezug auf die Momentankonfiguration

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Daniel Weschke
2015-08-05 23:14:38 +02:00
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@@ -35,13 +35,13 @@ die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wir
die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
\subsubsection{Statische Analysen}\label{statik}
Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung --
Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(v\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial v\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung --
\[
\begin{Array}{rlll}
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } v, \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial v_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial v_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.}
\end{Array}
\]
Die Summe der
@@ -60,7 +60,7 @@ gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
\sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0
\end{Array}
\]
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial v_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial v_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
@@ -194,14 +194,14 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da
\end{figure} \vspace{-1.5em}
\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(v)\cap C(\overline{v}) \text{ mit } \overline{v}=v \cup \partial v,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial v_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(v\)
\[
%
% \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
% \underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a
%% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
% }_{\delta W\ti{a}}
%
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
\underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a
% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
}_{\delta W\ti{a}}
\]
@@ -210,11 +210,11 @@ wobei
%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
%(Gauß'sche Integralsatz)
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
\( \int_v \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v = \int_a(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif a - \int_v\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif v \)
(\textsc{Green}'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \). % im linearen Fall : allg. da kleine virtuelle Verrückung.
Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte erfolgt.
Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen \(v\) erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte Volumen \(V\) erfolgt.
\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
@@ -314,9 +314,9 @@ Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) b
Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend
\[
\dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
= (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X}
= (\tensorII{F} - \tensorII{I}) \dif\tensorI{X}
= \tensorII{H} \dif\tensorI{X}
\quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
\quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensorII{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
\]
Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
@@ -401,7 +401,7 @@ eingeführt, wobei \(\tensorII{\tau}\) der \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor i
\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung} des Volumens
\[
V \approx \bigcup V^{(e)}
\]
@@ -494,7 +494,7 @@ Die Abbildung~\ref{pgfplots:Formfunktion} zeigt am Beispiel des dritten Knotens
\label{pgfplots:Formfunktion}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
%
Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) beschrieben sind, lauten
Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) (mit \(\xi_i=[-1,1]\)) beschrieben sind, lauten
\[
\begin{Array}{lll}
N_1(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
@@ -554,18 +554,19 @@ Mit Hilfe der \textsc{Jacobi}"=Determinante ist das Volumenelement \(\dif V\) in
\dif V = \abs{\tensorII{J}(\tensorI{\xi})} \dif\xi_1\dif\xi_2\dif\xi_3
\]
Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
Das Gebiet des Randwertproblem für kleine Verformungen (mit \(v=V\)) wird mit der \emph{Assemblierung} als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
\[
\begin{Array}{lll} \displaystyle
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} =
\begin{Array}{rll} \displaystyle
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} &\displaystyle=
\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
\quad , \\[4.5em]
\displaystyle
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} =
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} &\displaystyle=
\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
\end{Array}
\]
Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
%Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
Mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung ergibt sich die virtuelle innere Arbeit zu
\[
\begin{Array}{rll} \displaystyle
\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle =
@@ -582,7 +583,7 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc
Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.
Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
Die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
\[
\begin{Array}{rll} \displaystyle
\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle =
@@ -646,10 +647,10 @@ Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtun
Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt
\[
\begin{Array}{rlll}
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in v ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial v_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial v_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.}
\end{Array}
\]
Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.
@@ -657,7 +658,7 @@ Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.
Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen
\[
\begin{Array}{rlll}
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in v ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
\end{Array}
\]
@@ -675,15 +676,15 @@ Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Different
\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
\[
\int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
= \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A
\int\limits_{v}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif v + \!\!\int\limits_v\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + \!\!\int\limits_v\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v
= \!\!\int\limits_v\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif a
% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
\quad \forall t \in [0,T]
\]
\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt analog
Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall für das Randwertproblem mit kleinen Verformungen gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt (mit \(v = V\)) analog
\[
\begin{Array}{rlll} \displaystyle
\!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =