From 3675b46b5f1ee8f90a64649d40f01545e535320c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Daniel Weschke Date: Wed, 5 Aug 2015 23:14:38 +0200 Subject: [PATCH] Differentialgleichung nun in Bezug auf die Momentankonfiguration --- sections/Theorie.tex | 59 ++++++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 30 insertions(+), 29 deletions(-) diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index acf116c..18aa5fd 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -35,13 +35,13 @@ die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wir die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind. \subsubsection{Statische Analysen}\label{statik} -Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- +Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(v\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial v\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- \[ \begin{Array}{rlll} - \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\ - \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\ - \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\ - &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.} + \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } v, \\ + \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial v_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\ + \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial v_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\ + &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.} \end{Array} \] Die Summe der @@ -60,7 +60,7 @@ gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen% \sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0 \end{Array} \] -Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\). +Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial v_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial v_2\). Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. @@ -194,14 +194,14 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da \end{figure} \vspace{-1.5em} \paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\ -Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\) +Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(v)\cap C(\overline{v}) \text{ mit } \overline{v}=v \cup \partial v,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial v_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(v\) \[ % -% \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A +% \underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a %% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i % }_{\delta W\ti{a}} % - \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A + \underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a % + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i }_{\delta W\ti{a}} \] @@ -210,11 +210,11 @@ wobei %(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\)) %und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \) %(Gauß'sche Integralsatz) -\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \) +\( \int_v \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v = \int_a(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif a - \int_v\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif v \) (\textsc{Green}'sche Integralsatz) sowie \( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \). % im linearen Fall : allg. da kleine virtuelle Verrückung. -Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte erfolgt. +Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen \(v\) erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte Volumen \(V\) erfolgt. \paragraph{Kinematik}~\\ Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung @@ -314,9 +314,9 @@ Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) b Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend \[ \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X} - = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} + = (\tensorII{F} - \tensorII{I}) \dif\tensorI{X} = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} - \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right] + \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensorII{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right] \] Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient. Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an @@ -401,7 +401,7 @@ eingeführt, wobei \(\tensorII{\tau}\) der \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor i \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\ -Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung} +Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung} des Volumens \[ V \approx \bigcup V^{(e)} \] @@ -494,7 +494,7 @@ Die Abbildung~\ref{pgfplots:Formfunktion} zeigt am Beispiel des dritten Knotens \label{pgfplots:Formfunktion} \end{figure} \vspace{-1.5em} % -Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) beschrieben sind, lauten +Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) (mit \(\xi_i=[-1,1]\)) beschrieben sind, lauten \[ \begin{Array}{lll} N_1(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\ @@ -554,18 +554,19 @@ Mit Hilfe der \textsc{Jacobi}"=Determinante ist das Volumenelement \(\dif V\) in \dif V = \abs{\tensorII{J}(\tensorI{\xi})} \dif\xi_1\dif\xi_2\dif\xi_3 \] -Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet. +Das Gebiet des Randwertproblem für kleine Verformungen (mit \(v=V\)) wird mit der \emph{Assemblierung} als Summe aller Elementintegrale abgebildet. \[ - \begin{Array}{lll} \displaystyle - \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} = + \begin{Array}{rll} \displaystyle + \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} &\displaystyle= \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}} \quad , \\[4.5em] \displaystyle - \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} = + \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} &\displaystyle= \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}} \end{Array} \] -Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu +%Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu +Mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung ergibt sich die virtuelle innere Arbeit zu \[ \begin{Array}{rll} \displaystyle \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = @@ -582,7 +583,7 @@ Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematisc Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen. Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix. -Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt +Die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt \[ \begin{Array}{rll} \displaystyle \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle = @@ -646,10 +647,10 @@ Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtun Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt \[ \begin{Array}{rlll} - \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\ - \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\ - \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\ - &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.} + \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in v ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\ + \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial v_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\ + \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial v_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\ + &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.} \end{Array} \] Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall. @@ -657,7 +658,7 @@ Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall. Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen \[ \begin{Array}{rlll} - \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] + \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in v ~\wedge~ \forall t \in [0,T] \end{Array} \] @@ -675,15 +676,15 @@ Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Different \paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\ Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall \[ - \int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V - = \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A + \int\limits_{v}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif v + \!\!\int\limits_v\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + \!\!\int\limits_v\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + = \!\!\int\limits_v\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif a % + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i \quad \forall t \in [0,T] \] \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\ -Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt analog +Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall für das Randwertproblem mit kleinen Verformungen gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt (mit \(v = V\)) analog \[ \begin{Array}{rlll} \displaystyle \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =