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Transformation von Flächenelemente und Volumenelemente sowie ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor hinzugefügt

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Daniel Weschke
2015-08-05 18:39:08 +02:00
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sections/References.bib
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@@ -53,6 +53,17 @@
isbn = {978-3-540-67747-5},
gender={sm},
}
@BOOK{ogden84,
author = {Ogden, R. W.},
title= {Non-Linear Elastic Deformations},
subtitle= {},
publisher = {Ellis Horwood und Halsted Press/John Wiley \& Sons},
year = {2001},
address = {Chichester, England and New York},
edition = {},
isbn = {978-3-540-67747-5},
gender={sm},
}
@BOOK{nasdala12,
author = {Nasdala, Lutz},
title= {FEM -- Formelsammlung Statik und Dynamik},

21
sections/SymbolsCodes.tex
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@@ -6,10 +6,12 @@
\paragraph{Symbole}~\\
\vspace{-2em}
\begin{longtable*}[l]{lll}
\(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\
\(A\) & mm\(^2\) & Fläche in der Ausgangskonfiguration \\
\(a\) & mm\(^2\) & Fläche in der Momentankonfiguration \\
\(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\
\(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\
\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix, rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\
\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix \\
\(\tensorII{C}\) & & rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\
\(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor \\
\(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\
\(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\
@@ -27,6 +29,7 @@
\(h\) & mm & Einzelschichtdicke \\
\(\tensorII{I}\) & & Einheitsmatrix \\
\(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\
\(J\) & & \textsc{Jacobi}"=Determinante \\
\(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\
\(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\
\(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\
@@ -39,7 +42,9 @@
\(m_{ik}\ho{eff}\) & & Effektive Masse \\
\(\tensor{N}\) & N/mm & Linienkräfte \\
\(\tensor{N}\) & & Formfunktionen \\
\(\tensorI{n}\) & & Normalenvektor \\
\(\tensorI{N}\) & & Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration \\
\(\tensorI{n}\) & & Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration \\
\(\tensorII{P}\) & & Erster \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor \\
\(\tensor{Q}\) & & Transformationsmatrix \\
\(\tensor{q}\) & mm; 1 & Modale Koordinaten \\
\(\tensorII{R}\) & & Rotationsmatrix \\
@@ -59,24 +64,25 @@
\(\tensor{\hat{u}}\) & mm; 1 & Knotenverschiebungen \\
\(\tensor{\hat{\dt{u}}}\) & mm/s; 1/s & Knotengeschwindigkeiten \\
\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\
\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\
\(V\) & mm\(^3\) & Volumen in der Ausgangskonfiguration \\
\(v\) & mm\(^3\) & Volumen in der Momentankonfiguration \\
\(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\
\(w\ti{f}\) & MPa & Formänderungsenergiedichte \\
\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0) \\
\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \(\tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0)\) \\
\(\tensorI{x}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Momentankonfiguration \\
[0.25cm]
\(\alpha\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\alpha\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\
\(\beta\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\
\(\Gamma_{ik}\) & & Modaler Beteiligungsfaktor \\
\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\gamma\) & & Abklingkonstante \\
\(\gamma\) & & Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\Delta t\) & & Diskreter Zeitabschnitt \\
\(\delta\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
\(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\
\(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\
\(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\
\(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\
\(\tensor{\varepsilon}\) & & Dehnungen \\
\(\tensor{\varepsilon}\) & & Verzerrungsvektor \\
\(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\
\(\vartheta\) & \(\degree\) & Winkel \\
@@ -87,6 +93,7 @@
\(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\
\(\tensor{\sigma}\) & MPa & Spannungsvektor \\
\(\tensorII{\sigma}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungstensor \\
\(\tensorII{\tau}\) & & \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor \\
\(\tensor{\Phi}\) & & Modale Matrix \\
\(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\
\(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\

238
sections/Theorie.tex
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@@ -196,7 +196,12 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da
\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
\[
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
%
% \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
%% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
% }_{\delta W\ti{a}}
%
\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
}_{\delta W\ti{a}}
\]
@@ -208,7 +213,128 @@ wobei
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
(\textsc{Green}'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \). % im linearen Fall : allg. da kleine virtuelle Verrückung.
Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte erfolgt.
\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
als Verzerrungstensor gegeben
\[
\begin{Array}{rrll}
&\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
\\
\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
\end{Array}
\]
%\[
% \begin{Array}{rrll}
% &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
% \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
% \end{Array}
%\]
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
oder ausführlich
\[
\begin{bmatrix}
\varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
\Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
\Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_1 \\ u_2 \\ u_3
\end{bmatrix}
\]
Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet.
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen
\begin{itemize}
\item Gleichgewicht am unverformten System,
\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und
\item kleine Dehnungen
\end{itemize}
aufzuheben.
Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen im Ausgangszustand beschreiben \cite{roesler12}
\[
\tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right)
\quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F}
\]
Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix.
Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab.
Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential
\[
\dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j
\quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}
\qquad \text{bzw.}\quad
\dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x}
\]
gegeben.
Neben der Transformation von Linienelemente und der Kenntnis des Deformationsgradienten erfolgt die Transformation von Flächenelemente
nach der Formel von \textsc{Nanson}~\cite[S.\,88]{ogden84}
\[
\dif\tensor{a} = \tensor{n} \dif a = J \tensorII{F}^{-\T} \tensorI{N} \dif A = J \tensorII{F}^{-\T} \dif \tensorI{A}
\quad\text{mit}\quad J = \det{\tensorII{F}}
\]
Hierin ist \(\tensorI{n}\) der Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration und \(\tensorI{N}\) der Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration sowie \(J\) die \textsc{Jacobi}"=Determinante zum Deformationsgradient.
Für die Transformation der Volumenelemente gilt
\[
\dif v = J \dif V
\]
Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben. \cite[S. 92]{ogden84}
\[
\tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U}
\]
Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor
\[
\tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0}
\]
Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor.
Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben.
%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet.
Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt
\[
\tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X}
\]
Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend
\[
\dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
= (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X}
= \tensorII{H} \dif\tensorI{X}
\quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
\]
Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
\[
\tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right)
\quad \text{bzw.}\quad
E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right)
\]
Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung.
Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie.
Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmischen oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12}
\[
\tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}})
\quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2
\]
\paragraph{Materialgesetz}~\\
Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen das folgende Materialgesetz
@@ -265,112 +391,14 @@ die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten a
Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung von beispielsweise Plastizität oder hyperelastisches Materialverhalten wird auf \cite{becker02} und \cite{roesler12} verwiesen.
\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
als Verzerrungstensor gegeben
Im Zuge der geometrischen Nichtlinearität beziehungsweise mit dem Bezug auf die Ausgangskonfiguration wird der erste \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor
\[
\begin{Array}{rrll}
&\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
\\
\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
\end{Array}
\tensorII{P} = J \tensorII{\sigma} \tensorII{F}^{-T} = \tensorII{\tau} \tensorII{F}^{-T}
\quad\text{mit}\quad \tensorII{\tau} = J \tensorII{\sigma}
\]
%\[
% \begin{Array}{rrll}
% &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
% \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
% \end{Array}
%\]
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
oder ausführlich
\[
\begin{bmatrix}
\varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
\Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
\Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_1 \\ u_2 \\ u_3
\end{bmatrix}
\]
Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet.
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen
\begin{itemize}
\item Gleichgewicht am unverformten System,
\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und
\item kleine Dehnungen
\end{itemize}
aufzuheben.
eingeführt, wobei \(\tensorII{\tau}\) der \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor ist.
%Ebenso wie die nichtlinearen Verzerrungstensoren sind die \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensoren auf den Ausgangszustand bezogen.
Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen beschreiben \cite{roesler12}
\[
\tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right)
\quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F}
\]
Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix.
Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab.
Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential
\[
\dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j
\quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}
\qquad \text{bzw.}\quad
\dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x}
\]
gegeben.
Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben.
\[
\tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U}
\]
Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor
\[
\tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0}
\]
Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor.
Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben.
%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet.
Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt
\[
\tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X}
\]
Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend
\[
\dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
= (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X}
= \tensorII{H} \dif\tensorI{X}
\quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
\]
Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
\[
\tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right)
\quad \text{bzw.}\quad
E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right)
\]
Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung.
Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie.
Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmische oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12}
\[
\tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}})
\quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2
\]
\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}