diff --git a/sections/References.bib b/sections/References.bib index 2298412..e931de3 100755 --- a/sections/References.bib +++ b/sections/References.bib @@ -53,6 +53,17 @@ isbn = {978-3-540-67747-5}, gender={sm}, } +@BOOK{ogden84, + author = {Ogden, R. W.}, + title= {Non-Linear Elastic Deformations}, + subtitle= {}, + publisher = {Ellis Horwood und Halsted Press/John Wiley \& Sons}, + year = {2001}, + address = {Chichester, England and New York}, + edition = {}, + isbn = {978-3-540-67747-5}, + gender={sm}, +} @BOOK{nasdala12, author = {Nasdala, Lutz}, title= {FEM -- Formelsammlung Statik und Dynamik}, diff --git a/sections/SymbolsCodes.tex b/sections/SymbolsCodes.tex index 7ce4246..af7421a 100755 --- a/sections/SymbolsCodes.tex +++ b/sections/SymbolsCodes.tex @@ -6,10 +6,12 @@ \paragraph{Symbole}~\\ \vspace{-2em} \begin{longtable*}[l]{lll} -\(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\ +\(A\) & mm\(^2\) & Fläche in der Ausgangskonfiguration \\ +\(a\) & mm\(^2\) & Fläche in der Momentankonfiguration \\ \(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\ \(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\ -\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix, rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\ +\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix \\ +\(\tensorII{C}\) & & rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\ \(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor \\ \(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\ \(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\ @@ -27,6 +29,7 @@ \(h\) & mm & Einzelschichtdicke \\ \(\tensorII{I}\) & & Einheitsmatrix \\ \(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\ +\(J\) & & \textsc{Jacobi}"=Determinante \\ \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\ \(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\ \(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\ @@ -39,7 +42,9 @@ \(m_{ik}\ho{eff}\) & & Effektive Masse \\ \(\tensor{N}\) & N/mm & Linienkräfte \\ \(\tensor{N}\) & & Formfunktionen \\ -\(\tensorI{n}\) & & Normalenvektor \\ +\(\tensorI{N}\) & & Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration \\ +\(\tensorI{n}\) & & Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration \\ +\(\tensorII{P}\) & & Erster \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor \\ \(\tensor{Q}\) & & Transformationsmatrix \\ \(\tensor{q}\) & mm; 1 & Modale Koordinaten \\ \(\tensorII{R}\) & & Rotationsmatrix \\ @@ -59,24 +64,25 @@ \(\tensor{\hat{u}}\) & mm; 1 & Knotenverschiebungen \\ \(\tensor{\hat{\dt{u}}}\) & mm/s; 1/s & Knotengeschwindigkeiten \\ \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\ -\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\ +\(V\) & mm\(^3\) & Volumen in der Ausgangskonfiguration \\ +\(v\) & mm\(^3\) & Volumen in der Momentankonfiguration \\ \(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\ \(w\ti{f}\) & MPa & Formänderungsenergiedichte \\ -\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0) \\ +\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \(\tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0)\) \\ \(\tensorI{x}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Momentankonfiguration \\ [0.25cm] \(\alpha\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\alpha\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\ \(\beta\) & & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\ \(\Gamma_{ik}\) & & Modaler Beteiligungsfaktor \\ -\(\gamma\) & & Abklingkonstante, Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ +\(\gamma\) & & Abklingkonstante \\ +\(\gamma\) & & Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\Delta t\) & & Diskreter Zeitabschnitt \\ \(\delta\) & & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\ \(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\ \(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\ \(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\ \(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\ -\(\tensor{\varepsilon}\) & & Dehnungen \\ \(\tensor{\varepsilon}\) & & Verzerrungsvektor \\ \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\ \(\vartheta\) & \(\degree\) & Winkel \\ @@ -87,6 +93,7 @@ \(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\ \(\tensor{\sigma}\) & MPa & Spannungsvektor \\ \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungstensor \\ +\(\tensorII{\tau}\) & & \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor \\ \(\tensor{\Phi}\) & & Modale Matrix \\ \(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\ \(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\ diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index bdc2ac6..acf116c 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -196,7 +196,12 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da \paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\ Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\) \[ - \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A +% +% \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A +%% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i +% }_{\delta W\ti{a}} +% + \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A % + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i }_{\delta W\ti{a}} \] @@ -208,7 +213,128 @@ wobei \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \) (\textsc{Green}'sche Integralsatz) sowie -\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt. +\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \). % im linearen Fall : allg. da kleine virtuelle Verrückung. +Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte erfolgt. + +\paragraph{Kinematik}~\\ +Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung +%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge +als Verzerrungstensor gegeben +\[ + \begin{Array}{rrll} + &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) + \\ + \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix} + \end{Array} +\] +%\[ +% \begin{Array}{rrll} +% &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\ +% \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix} +% \end{Array} +%\] +% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix} +% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\ +% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\ +% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\ +% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\ +% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\ +% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x} +% \end{bmatrix} \] +%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\) +oder ausführlich +\[ + \begin{bmatrix} + \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12} +\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} + \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\ + 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\ + 0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\ + 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ + \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ + \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\ + \end{bmatrix} \begin{bmatrix} + u_1 \\ u_2 \\ u_3 + \end{bmatrix} +\] +Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix. +Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet. +Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\). +%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. +Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen +\begin{itemize} +\item Gleichgewicht am unverformten System, +\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und +\item kleine Dehnungen +\end{itemize} +aufzuheben. + +Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen im Ausgangszustand beschreiben \cite{roesler12} +\[ + \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right) + \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} +\] +Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix. +Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab. +Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential +\[ + \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j + \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j} + \qquad \text{bzw.}\quad + \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x} +\] +gegeben. +Neben der Transformation von Linienelemente und der Kenntnis des Deformationsgradienten erfolgt die Transformation von Flächenelemente +nach der Formel von \textsc{Nanson}~\cite[S.\,88]{ogden84} +\[ + \dif\tensor{a} = \tensor{n} \dif a = J \tensorII{F}^{-\T} \tensorI{N} \dif A = J \tensorII{F}^{-\T} \dif \tensorI{A} + \quad\text{mit}\quad J = \det{\tensorII{F}} +\] +Hierin ist \(\tensorI{n}\) der Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration und \(\tensorI{N}\) der Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration sowie \(J\) die \textsc{Jacobi}"=Determinante zum Deformationsgradient. +Für die Transformation der Volumenelemente gilt +\[ + \dif v = J \dif V +\] +Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben. \cite[S. 92]{ogden84} +\[ + \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U} +\] +Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor +\[ + \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0} +\] +Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor. + +Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben. +%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet. +Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt +\[ + \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X} +\] +Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend +\[ + \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X} + = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} + = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} + \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right] +\] +Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient. +Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an +\[ + \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right) + \quad \text{bzw.}\quad + E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right) +\] +Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung. + +Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie. +Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmischen oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12} +\[ + \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) + \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2 +\] + + \paragraph{Materialgesetz}~\\ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen das folgende Materialgesetz @@ -265,112 +391,14 @@ die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten a Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\). Für eine genauere Darstellung von beispielsweise Plastizität oder hyperelastisches Materialverhalten wird auf \cite{becker02} und \cite{roesler12} verwiesen. -\paragraph{Kinematik}~\\ -Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung -%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge -als Verzerrungstensor gegeben +Im Zuge der geometrischen Nichtlinearität beziehungsweise mit dem Bezug auf die Ausgangskonfiguration wird der erste \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor \[ - \begin{Array}{rrll} - &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) - \\ - \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix} - \end{Array} + \tensorII{P} = J \tensorII{\sigma} \tensorII{F}^{-T} = \tensorII{\tau} \tensorII{F}^{-T} + \quad\text{mit}\quad \tensorII{\tau} = J \tensorII{\sigma} \] -%\[ -% \begin{Array}{rrll} -% &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\ -% \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon} \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix} -% \end{Array} -%\] -% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix} -% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\ -% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\ -% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\ -% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\ -% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\ -% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x} -% \end{bmatrix} \] -%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\) -oder ausführlich -\[ - \begin{bmatrix} - \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12} -\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\ - 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\ - 0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\ - 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ - \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ - \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\ - \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - u_1 \\ u_2 \\ u_3 - \end{bmatrix} -\] -Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix. -Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet. -Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\). -%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen. -Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen -\begin{itemize} -\item Gleichgewicht am unverformten System, -\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und -\item kleine Dehnungen -\end{itemize} -aufzuheben. +eingeführt, wobei \(\tensorII{\tau}\) der \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor ist. +%Ebenso wie die nichtlinearen Verzerrungstensoren sind die \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensoren auf den Ausgangszustand bezogen. -Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen beschreiben \cite{roesler12} -\[ - \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right) - \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} -\] -Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix. -Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab. -Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential -\[ - \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j - \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j} - \qquad \text{bzw.}\quad - \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x} -\] -gegeben. -Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben. -\[ - \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U} -\] -Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor -\[ - \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0} -\] -Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor. - -Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben. -%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet. -Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt -\[ - \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X} -\] -Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend -\[ - \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X} - = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} - = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} - \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right] -\] -Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient. -Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an -\[ - \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right) - \quad \text{bzw.}\quad - E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right) -\] -Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung. - -Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie. -Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmische oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12} -\[ - \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) - \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2 -\] \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\ Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}