Transformation von Flächenelemente und Volumenelemente sowie ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor hinzugefügt

sections/References.bib

@@ -53,6 +53,17 @@
   isbn = {978-3-540-67747-5},
   gender={sm},
 }
+@BOOK{ogden84,
+  author = {Ogden, R. W.},
+  title= {Non-Linear Elastic Deformations},
+  subtitle= {},
+  publisher = {Ellis Horwood und Halsted Press/John Wiley \& Sons},
+  year = {2001},
+  address = {Chichester, England and New York},
+  edition = {},
+  isbn = {978-3-540-67747-5},
+  gender={sm},
+}
 @BOOK{nasdala12,
   author = {Nasdala, Lutz},
   title= {FEM -- Formelsammlung Statik und Dynamik},

sections/SymbolsCodes.tex

@@ -6,10 +6,12 @@
 \paragraph{Symbole}~\\
 \vspace{-2em}
 \begin{longtable*}[l]{lll}
-\(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\
+\(A\) & mm\(^2\) & Fläche in der Ausgangskonfiguration \\
+\(a\) & mm\(^2\) & Fläche in der Momentankonfiguration \\
 \(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\
 \(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\
-\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix, rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\
+\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix \\
+\(\tensorII{C}\) &  & rechter \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor \\
 \(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor \\
 \(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\
 \(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\
@@ -27,6 +29,7 @@
 \(h\) & mm & Einzelschichtdicke \\
 \(\tensorII{I}\) & & Einheitsmatrix \\
 \(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\
+\(J\) & & \textsc{Jacobi}"=Determinante \\
 \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\
 \(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\
 \(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\
@@ -39,7 +42,9 @@
 \(m_{ik}\ho{eff}\) & & Effektive Masse \\
 \(\tensor{N}\) & N/mm & Linienkräfte \\
 \(\tensor{N}\) &  & Formfunktionen \\
-\(\tensorI{n}\) &  & Normalenvektor \\
+\(\tensorI{N}\) &  & Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration \\
+\(\tensorI{n}\) &  & Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration \\
+\(\tensorII{P}\) &  & Erster \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor \\
 \(\tensor{Q}\) &  & Transformationsmatrix \\
 \(\tensor{q}\) & mm; 1 & Modale Koordinaten \\
 \(\tensorII{R}\) &  & Rotationsmatrix \\
@@ -59,24 +64,25 @@
 \(\tensor{\hat{u}}\) & mm; 1 & Knotenverschiebungen \\
 \(\tensor{\hat{\dt{u}}}\) & mm/s; 1/s & Knotengeschwindigkeiten \\
 \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\
-\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\
+\(V\) & mm\(^3\) & Volumen in der Ausgangskonfiguration \\
+\(v\) & mm\(^3\) & Volumen in der Momentankonfiguration \\
 \(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\
 \(w\ti{f}\) & MPa & Formänderungsenergiedichte \\
-\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0) \\
+\(\tensorI{X}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Ausgangskonfiguration \(\tensorI{X} = \tensorI{x}(t=0)\) \\
 \(\tensorI{x}\) & mm; 1 & Physikalische Koordinaten in der Momentankonfiguration \\
 [0.25cm]
 \(\alpha\) &  & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
 \(\alpha\) &  & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur massenproportionale Dämpfung \\
 \(\beta\) &  & \textsc{Rayleigh}"=Parameter zur steifigkeitsproportionale Dämpfung \\
 \(\Gamma_{ik}\) &  & Modaler Beteiligungsfaktor \\
-\(\gamma\) &  & Abklingkonstante, Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
+\(\gamma\) &  & Abklingkonstante \\
+\(\gamma\) &  & Abgeleiteter \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
 \(\Delta t\) &  & Diskreter Zeitabschnitt \\
 \(\delta\) &  & \textsc{Newmark}"=Parameter zur Zeitintegration \\
 \(\delta\tensorI{u}\) & mm & Virtuelle Verrückung \\
 \(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\
 \(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\
 \(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\
-\(\tensor{\varepsilon}\) & & Dehnungen \\
 \(\tensor{\varepsilon}\) & & Verzerrungsvektor \\
 \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\
 \(\vartheta\) & \(\degree\) & Winkel \\
@@ -87,6 +93,7 @@
 \(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\
 \(\tensor{\sigma}\) & MPa & Spannungsvektor \\
 \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungstensor \\
+\(\tensorII{\tau}\) &  & \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor \\
 \(\tensor{\Phi}\) &  & Modale Matrix \\
 \(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\
 \(\omega\) & 1/s & Eigenkreisfrequenz \\

sections/Theorie.tex

@@ -196,7 +196,12 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da
 \paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
 Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
 \[
-  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A 
+%
+%  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A 
+%%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
+%  }_{\delta W\ti{a}}
+%
+  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A 
 %  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
   }_{\delta W\ti{a}}
 \]
@@ -208,7 +213,128 @@ wobei
 \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
 (\textsc{Green}'sche Integralsatz)
 sowie
-\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.
+\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \). % im linearen Fall : allg. da kleine virtuelle Verrückung. 
+Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte erfolgt.
+
+\paragraph{Kinematik}~\\
+Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
+%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
+als Verzerrungstensor gegeben
+\[
+  \begin{Array}{rrll} 
+  &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
+  \\
+  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
+  \end{Array}
+\]
+%\[
+%  \begin{Array}{rrll} 
+%  &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
+%  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
+%  \end{Array}
+%\]
+% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
+% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
+% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
+% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
+% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
+% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
+% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
+% \end{bmatrix} \]
+%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
+oder ausführlich
+\[
+  \begin{bmatrix}
+    \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
+\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
+    \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
+    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
+    0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
+    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
+    \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
+    \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
+  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
+    u_1 \\ u_2 \\ u_3
+  \end{bmatrix}
+\]
+Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
+Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet.
+Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
+%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
+Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen
+\begin{itemize}
+\item Gleichgewicht am unverformten System,
+\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und
+\item kleine Dehnungen
+\end{itemize}
+aufzuheben.
+
+Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen im Ausgangszustand beschreiben \cite{roesler12}
+\[
+  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right)
+  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F}
+\]
+Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix.
+Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab.
+Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential 
+\[
+  \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j
+  \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}
+  \qquad \text{bzw.}\quad
+  \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x}
+\]
+gegeben.
+Neben der Transformation von Linienelemente und der Kenntnis des Deformationsgradienten erfolgt die Transformation von Flächenelemente 
+nach der Formel von \textsc{Nanson}~\cite[S.\,88]{ogden84}
+\[
+  \dif\tensor{a} = \tensor{n} \dif a = J \tensorII{F}^{-\T} \tensorI{N} \dif A = J \tensorII{F}^{-\T} \dif \tensorI{A}
+  \quad\text{mit}\quad J = \det{\tensorII{F}}
+\]
+Hierin ist \(\tensorI{n}\) der Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration und \(\tensorI{N}\) der Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration sowie \(J\) die \textsc{Jacobi}"=Determinante zum Deformationsgradient. 
+Für die Transformation der Volumenelemente gilt
+\[
+  \dif v = J \dif V
+\]
+Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben. \cite[S. 92]{ogden84}
+\[
+  \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U}
+\]
+Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor
+\[
+  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0}
+\]
+Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor.
+
+Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben.
+%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet.
+Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt
+\[
+  \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X}
+\]
+Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend 
+\[
+  \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
+  = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} 
+  = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} 
+  \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
+\]
+Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
+Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
+\[
+  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right)
+  \quad \text{bzw.}\quad
+  E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right)
+\]
+Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung.
+
+Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie.
+Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmischen oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12}
+\[
+  \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) 
+  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2
+\]
+
+
 
 \paragraph{Materialgesetz}~\\
 Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen das folgende Materialgesetz
@@ -265,112 +391,14 @@ die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten a
 Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
 Für eine genauere Darstellung von beispielsweise Plastizität oder hyperelastisches Materialverhalten wird auf \cite{becker02} und \cite{roesler12} verwiesen.
 
-\paragraph{Kinematik}~\\
+Im Zuge der geometrischen Nichtlinearität beziehungsweise mit dem Bezug auf die Ausgangskonfiguration wird der erste \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor
-Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
-%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
-als Verzerrungstensor gegeben
 \[
-  \begin{Array}{rrll} 
+  \tensorII{P} = J \tensorII{\sigma} \tensorII{F}^{-T} =  \tensorII{\tau} \tensorII{F}^{-T}
-  &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
+  \quad\text{mit}\quad \tensorII{\tau} = J \tensorII{\sigma}
-  \\
-  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
-  \end{Array}
 \]
-%\[
+eingeführt, wobei \(\tensorII{\tau}\) der \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor ist.
-%  \begin{Array}{rrll} 
+%Ebenso wie die nichtlinearen Verzerrungstensoren sind die \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensoren auf den Ausgangszustand bezogen.
-%  &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
-%  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
-%  \end{Array}
-%\]
-% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
-% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
-% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
-% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
-% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
-% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
-% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
-% \end{bmatrix} \]
-%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
-oder ausführlich
-\[
-  \begin{bmatrix}
-    \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
-\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-    \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
-    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
-    0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
-    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
-    \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
-    \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
-  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-    u_1 \\ u_2 \\ u_3
-  \end{bmatrix}
-\]
-Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
-Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet.
-Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
-%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
-Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen
-\begin{itemize}
-\item Gleichgewicht am unverformten System,
-\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und
-\item kleine Dehnungen
-\end{itemize}
-aufzuheben.
 
-Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen beschreiben \cite{roesler12}
-\[
-  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right)
-  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F}
-\]
-Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix.
-Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab.
-Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential 
-\[
-  \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j
-  \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}
-  \qquad \text{bzw.}\quad
-  \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x}
-\]
-gegeben.
-Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben.
-\[
-  \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U}
-\]
-Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor
-\[
-  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0}
-\]
-Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor.
-
-Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben.
-%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet.
-Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt
-\[
-  \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X}
-\]
-Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend 
-\[
-  \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
-  = (\tensorII{F} - \tensor{I}) \dif\tensorI{X} 
-  = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} 
-  \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensor{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
-\]
-Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
-Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
-\[
-  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right)
-  \quad \text{bzw.}\quad
-  E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right)
-\]
-Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung.
-
-Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie.
-Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmische oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12}
-\[
-  \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) 
-  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2
-\]
 
 \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
 Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}