daniel/Masterarbeit
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Projects Releases Wiki Activity

Theorie - Statische Analyse: Abbildung zu Kräfte am infinitesimalen Volumenelement

Browse Source
This commit is contained in:
Daniel Weschke
2015-06-19 01:27:29 +02:00
parent c2ec48b8d0
commit 0ec266b963
2 changed files with 91 additions and 1 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

91
sections/Theorie.tex
View File

@@ -46,10 +46,99 @@ Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein bel
&&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
\end{Array}
\]
Die Summe der partiell abgeleiteten inneren Spannungen~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht.
Die Summe der
%partiell abgeleiteten
%inneren Spannungen
gleichgerichteten, in Dickenrichtung dividierten, differentiellen Spannungen%
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht.
Dabei beschreiben die Randbedingungen zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variationsprinzip -- das sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} -- herangezogen, mit der ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
%\begin{tikzpicture}
% \tikzcuboid{%
% shiftx=0cm,%
% shifty=0cm,%
% scale=1.00,%
% rotation=0,%
% densityx=1,%
% densityy=1,%
% densityz=1,%
% dimx=2,%
% dimy=2,%
% dimz=2,%
% front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},%
% right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},%
% top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},%
% anglex=-7,%
% angley=90,%
% anglez=221.5,%
% scalex=1,%
% scaley=1,%
% scalez=0.5,%
% emphedge=false,%
% shade,%
% shadeopacity=0.15,%
% }
%\end{tikzpicture}
%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.7]
{
\fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
\fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
\fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
\draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
\draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
\draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
\draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
\draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
\draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
\draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
\draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
\draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
% Z-Ebene
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$};
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$};
\draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$};
% X-Ebene
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$};
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$};
\draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$};
% Y-Ebene
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$};
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$};
\draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$};
% Koordinatensystem
\draw[->] (-1,0,0) -- (-.7,0,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (-1,0,0) -- (-1,.3,0) node[above] {$y$};
\draw[->] (-1,0,0) -- (-1,0,.3) node[below left] {$z$};
}
\end{tikzpicture}
\hspace{2em}
\raisebox{0.9em}{
\begin{tikzpicture}[scale=2]
{
\fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
\draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle;
\draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$};
\draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0);
}
\end{tikzpicture}
}
\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}),~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)), mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\).
\[