From 0ec266b9638b2104a33d2ccb917a7d8222a268e8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Daniel Weschke Date: Fri, 19 Jun 2015 01:27:29 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Theorie=20-=20Statische=20Analyse:=20Abbildung?= =?UTF-8?q?=20zu=20Kr=C3=A4fte=20am=20infinitesimalen=20Volumenelement?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Preamble/Main.tex | 1 + sections/Theorie.tex | 91 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 2 files changed, 91 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/Preamble/Main.tex b/Preamble/Main.tex index d782f0f..6ddeed3 100755 --- a/Preamble/Main.tex +++ b/Preamble/Main.tex @@ -818,6 +818,7 @@ % usage: %\tikzoverlay[text width=6cm] at (9.3cm,5cm) {... content ...} + \usepackage{afterpage} \makeatletter diff --git a/sections/Theorie.tex b/sections/Theorie.tex index b769d83..453da55 100755 --- a/sections/Theorie.tex +++ b/sections/Theorie.tex @@ -46,10 +46,99 @@ Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein bel &&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V. \end{Array} \] -Die Summe der partiell abgeleiteten inneren Spannungen~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht. +Die Summe der +%partiell abgeleiteten +%inneren Spannungen +gleichgerichteten, in Dickenrichtung dividierten, differentiellen Spannungen% +~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht. Dabei beschreiben die Randbedingungen zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\). Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variationsprinzip -- das sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} -- herangezogen, mit der ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. + +%\begin{tikzpicture} +% \tikzcuboid{% +% shiftx=0cm,% +% shifty=0cm,% +% scale=1.00,% +% rotation=0,% +% densityx=1,% +% densityy=1,% +% densityz=1,% +% dimx=2,% +% dimy=2,% +% dimz=2,% +% front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},% +% right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},% +% top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},% +% anglex=-7,% +% angley=90,% +% anglez=221.5,% +% scalex=1,% +% scaley=1,% +% scalez=0.5,% +% emphedge=false,% +% shade,% +% shadeopacity=0.15,% +% } +%\end{tikzpicture} + + +% +\begin{figure}[H]\centering +\begin{tikzpicture}[scale=2.7] +{ + \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle; + \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle; + \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle; + + \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1); + \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1); + \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0); + + \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0); + \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0); + \draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0); + + \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1); + \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1); + \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0); + + % Z-Ebene + \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$}; + \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$}; + \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$}; + + % X-Ebene + \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$}; + \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$}; + \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$}; + + % Y-Ebene + \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$}; + \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$}; + \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$}; + + % Koordinatensystem + \draw[->] (-1,0,0) -- (-.7,0,0) node[right] {$x$}; + \draw[->] (-1,0,0) -- (-1,.3,0) node[above] {$y$}; + \draw[->] (-1,0,0) -- (-1,0,.3) node[below left] {$z$}; +} +\end{tikzpicture} +\hspace{2em} +\raisebox{0.9em}{ +\begin{tikzpicture}[scale=2] +{ + \fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle; + \draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle; + \draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$}; + \draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0); +} +\end{tikzpicture} +} +\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement} +\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} +\end{figure} \vspace{-1.5em} + \paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\ Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}),~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)), mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\). \[