Theorie Dynamik Dämpfung eingebaut

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@@ -165,7 +165,8 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da
   \fill[color=black!35] (1,.45,.55) -- (1,.45,.45) -- (1,.55,.45) -- (1,.55,.55) -- cycle;
   \fill[color=black!15] (0,.45,.55) -- (0,.45,.45) -- (0,.55,.45) -- (0,.55,.55) -- cycle;
   \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\displaystyle\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x$};
-  \draw[->] (0,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
+  \draw[dashed] (0,.5,.5) -- (-.2,.5,.5);
+  \draw[->] (-.2,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
     
   % Y-Ebene
   \fill[color=black!25] (.45,1,.55) -- (.55,1,.55) -- (.55,1,.45) -- (.45,1,.45) -- cycle;
@@ -359,7 +360,7 @@ Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Different
 \paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
 Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
 \[
-  \int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
+  \int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
   = \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A 
 %  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i 
   \quad \forall t \in [0,T]
@@ -367,7 +368,7 @@ Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
 
 
 \paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
-Bis auf den zweiten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten Term der linken Seite erfolgt analog
+Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt analog
 \[
   \begin{Array}{rlll} \displaystyle
   \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
@@ -377,6 +378,16 @@ Bis auf den zweiten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sin
   &\displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} \quad \text{mit } \tensor{M} = \sum\limits_{(e)}\tensor{M}^{(e)}
   \end{Array}
 \]
+sowie
+\[
+  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
+  \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
+  \sum\limits_{(e)}\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = 
+  \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T d\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \tensor{\hat{\dt{u}}} \\[1.5em]
+  &\displaystyle = \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{D}^{(e)}\tensor{\hat{\dt{u}}} \quad \text{mit }\tensor{D}^{(e)} = d\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \\[1em]
+  &\displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}} \quad \text{mit } \tensor{D} = \sum\limits_{(e)}\tensor{D}^{(e)}
+  \end{Array}
+\]
 Mit dem gleichen Variationsargument resultiert das halbdiskrete Bewegungsgleichungssystem
 \[
   \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}(t) + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}(t) + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\hat{r}}(t)
@@ -384,12 +395,24 @@ Mit dem gleichen Variationsargument resultiert das halbdiskrete Bewegungsgleichu
 Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\tensor{K}\) als Steifigkeitsmatrix sowie \(\tensor{\hat{r}}\) als Lastvektor.
 
 
+\paragraph{Dämpfung}~\\
+Der allgemeine Dämpfungsansatz erfolgt, wie gezeigt, in gleicherweise wie die Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix durch Überlagerung von Elementmatrizen.
+Dies entspricht den konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpferelemente, die mit bekannte Dämpfungskonstante \(d\) berücksichtigt werden, 
+und führt zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
+Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Körper oder zwischen Körper und Fluid gemeint.
+
+Bei Verwendung der proportionalen Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder Rayleigh"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
+\[
+  \tensor{D} = \alpha\tensor{M} + \beta\tensor{K}
+\]
+[[Dieser Ansatz wird nicht zuletzt auch wegen der Diagonalisierbarkeit der Dämpfungsmatrix verwendet]]
+
 \paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
-Die Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung 
+Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung 
 \[
   \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
 \]
-Einsetzen des Lösungsansatzes
+sowie Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
 \[
   \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
 \]
@@ -404,6 +427,18 @@ Für die Nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
 \]
 Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\Phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.
 
+Hingegen führt die Differentialgleichung einer gedämpften freie Schwingung und dem exponentiellen Lösungsansatzes
+\[
+  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\lambda t}
+\]
+zu einem quadratischen Eigenwertproblem
+\[
+  (\lambda^2\tensor{M} + \lambda\tensor{D} + \tensor{K})\tensor{\Phi} = \tensor{0}
+\]
+Als Lösung ergeben sich komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren.
+Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämnpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
+Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil, so nehmen beispielsweise die Amplituden über der Zeit immer größere Werte an.
+
 [[Modale Superposition, Orthogonalität der Eigenvektoren, ggf. Effektive Massen]]
 
 \paragraph{Transiente Analyse}~\\
@@ -454,7 +489,4 @@ Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der Newmark"=Methode eine Abkling
   \gamma \geq 0
 \]
 
-%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\
-
-
-%\paragraph{Dämpfung}~\\
+%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\