Masterarbeit/sections/Theorie.tex

\newpage
\thispagestyle{plain}
\section{Theoretische Grundlagen}\label{sec:Theorie}

\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
\ac{CAD}

\subsubsection{Flächendarstellung}
\subsubsection{Datenaustausch}


\subsection{Faserverbundwerkstoffe}


%\subsection{Aerodynamik einer Windenergieanlage}


%\subsection{Strukturdynamik einer Windenergieanlage}


\subsection{Numerische Strukturmechanik}
Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
In den nachfolgenden Abschnitten wird auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
verwiesen.

Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
und bei dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
die Assemblierung welche das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.

\subsubsection{Statische Analysen}
Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- 
\[
  \begin{Array}{rcl}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
    &&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
  \end{Array}
\]
Die Summe der
%partiell abgeleiteten
%inneren Spannungen
gleichgerichteten, in Dickenrichtung dividierten, differentiellen Spannungen%
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht. 
Dabei beschreiben die Randbedingungen zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variationsprinzip -- das sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} -- herangezogen, mit der ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. 


%\begin{tikzpicture}
%    \tikzcuboid{%
%    shiftx=0cm,%
%    shifty=0cm,%
%    scale=1.00,%
%    rotation=0,%
%    densityx=1,%
%    densityy=1,%
%    densityz=1,%
%    dimx=2,%
%    dimy=2,%
%    dimz=2,%
%    front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},%
%    right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},%
%    top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},%
%    anglex=-7,%
%    angley=90,%
%    anglez=221.5,%
%    scalex=1,%
%    scaley=1,%
%    scalez=0.5,%
%    emphedge=false,%
%    shade,%
%    shadeopacity=0.15,%
%    }
%\end{tikzpicture}


%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  % Z-Ebene
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$};
    
  % X-Ebene
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$};
    
  % Koordinatensystem
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.6,0,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,.3,0) node[above] {$y$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,0,.3) node[below left] {$z$};
}
\end{tikzpicture}
\hspace{.5em}
%\raisebox{0.9em}{
%\begin{tikzpicture}[scale=2]
%{
%  \fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$};
%  \draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0);
%}
%\end{tikzpicture}
%}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (1,0,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,0,1);
    
  % X-Ebene
  \fill[color=black!35] (1,.45,.55) -- (1,.45,.45) -- (1,.55,.45) -- (1,.55,.55) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,.45,.55) -- (0,.45,.45) -- (0,.55,.45) -- (0,.55,.55) -- cycle;
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\displaystyle\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x$};
  \draw[->] (0,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \fill[color=black!25] (.45,1,.55) -- (.55,1,.55) -- (.55,1,.45) -- (.45,1,.45) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (.45,0,.55) -- (.55,0,.55) -- (.55,0,.45) -- (.45,0,.45) -- cycle;
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y$};
  \draw[->,dashed] (.5,0,.5) -- (.1,0,.5) node[below] {$\tau\ti{yx}$};
    
  % Z-Ebene
  \fill[color=black!12] (.45,.45,1) -- (.55,.45,1) -- (.55,.55,1) -- (.45,.55,1) -- cycle;
  \fill[color=black!12] (.45,.45,0) -- (.55,.45,0) -- (.55,.55,0) -- (.45,.55,0) -- cycle;
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z$};
  \draw[->,dashed] (.5,.5,0) -- (.1,.5,0) node[above right] {$\tau\ti{zx}$};
    
  % fx
  \draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$} -- (.1,.5,.5);
}
\end{tikzpicture}
\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht}
\end{figure} \vspace{-1.5em}

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}),~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)), mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\).
\[
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
  }_{\delta W\ti{a}}
\]
wobei 
%\( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
%(Gauß'sche Integralsatz)
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
(Green'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Die Integration erfolgt im linearen Fall über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen.

\paragraph{Materialgesetz}~\\
Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das folgende Materialgesetz
\[
  \begin{Array}{rrcll}
  &\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon}  \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
  \end{Array}
\]
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem vergleichsweise eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) keine direkte Proportionalität vorherrscht.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.

Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.

\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen, 
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
ist als Verzerrungstensor gegeben
\[
  \begin{Array}{rrll} 
  &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) %= \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) 
  \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
  \end{Array}
\]
%\[
%  \begin{Array}{rrll} 
%  &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
%  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
%  \end{Array}
%\]
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.

\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems startet mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise \emph{Partitionierung}
\[
  V \approx \bigcup V^{(e)}
\] 
Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen beziehungsweise Elemente.

Die \emph{Approximation} als Überlagerung aller Formfunktionen mit den jeweiligen Knotenverformungen lautet
\[
  \tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
\]
worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind. 
Werden für die Volumenvernetzung acht Knoten Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
\[
  \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}   
\]
Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
\[
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} = 
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
  \quad , \quad 
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V}_{\delta W\ti{a}} =
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
\]
Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V  = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}}  \\
    & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} =  \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\
    & \displaystyle = 
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V \\
  & \displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V\\
  & \displaystyle =
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin ist \(\tensor{\hat{r}}\) der Knotenlastvektor.
Mit den beiden virtuellen Arbeitsaussagen lautet das globale Gleichgewicht
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}
\]
Abschließend wird die virtuelle Verschiebung ausgeklammert
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad\rightarrow\quad
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T (\tensor{K} \tensor{\hat{u}} - \tensor{\hat{r}}) = 0
\]
Aus dem Variationsargument, dass diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen gelten soll, muss der Klammerausdruck zu Null werden und es folgt das lineare FE"=Gleichungssystem.
\[
  \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
\]
Gelöst wird das Gleichungssystem nach
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
\]
wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert
\[
  \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
\]


\subsubsection{Dynamische Analysen}