Theorie modale Dämpfung und Formelzeichen erweitert

sections/SymbolsCodes.tex

@@ -9,29 +9,38 @@
 \(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\
 \(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\
 \(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\
-\(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\
+\(\tensor{C}\) & MPa & Elastizitätsmatrix \\
+\(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor \\
 \(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\
 \(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\
 \(\tensor{\tilde{D}}\) & & Modale Dämpfungsmatrix \\
 \(\mathcal{D}\) & &  Differentialoperatormatrix \\
 \(d\) & N\,s/m; N\,m\,s & Dämpfungskonstante \\
+\(\tensorI{e}\) &  & Einheitsvektor \\
 \(f\) & Hz & Eigenfrequenz \\
 \(\tensorI{f}\) & N/mm\(^3\) & Volumenkräfte \\
+\(h\) & mm & Einzelschichtdicke \\
 \(\tensorII{J}\) & & \textsc{Jacobi}"=Matrix \\
 \(\tensor{K}\) & & Gesamtsteifigkeitsmatrix \\
 \(\tensor{K}^{(e)}\) & & Elementsteifigkeitsmatrix \\
 \(\tensor{\tilde{K}}\) & & Modale Steifigkeitsmatrix \\
 \(L\) & mm & Länge \\
+\(\tensor{M}\) & N & Linienmomente \\
 \(\tensor{M}\) & & Gesamtmassenmatrix \\
 \(\tensor{M}^{(e)}\) & & Elementmassenmatrix \\
 \(\tensor{\tilde{M}}\) & & Modale Massenmatrix \\
+\(\tensor{N}\) & N/mm & Linienkräfte \\
 \(\tensor{N}\) &  & Formfunktionen \\
 \(\tensorI{n}\) &  & Normalenvektor \\
+\(\tensor{Q}\) &  & Transformationsmatrix \\
 \(\tensor{q}\) &  & Modale Koordinaten \\
+\(\tensor{Q}\) &  & \textsc{Reuter}"=Matrix \\
 \(\tensor{\hat{r}}\) & N & Knotenlastvektor \\
+\(\tensor{S}\) &  & Nachgiebigkeitsmatrix \\
 \(T\) & s & Simulationsdauer \\
 \(t\) & s & Zeit \\
-\(\tensorI{t}\) & MPa & Spannungsvektor \\
+\(t\) & mm & Laminatdicke \\
+\(\tensorI{t}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektor \\
 \(\tensorI{u}\) & mm; 1 & Verschiebungen \\
 \(\tensorI{\dt{u}}\) & mm/s; 1/s & Geschwindigkeit \\
 \(\tensorI{\ddt{u}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Beschleunigung \\
@@ -55,11 +64,16 @@
 \(\delta W\ti{a}\) & N\,mm & Virtuelle äußere Arbeit \\
 \(\delta W\ti{i}\) & N\,mm & Virtuelle innere Arbeit \\
 \(\delta\tensorII{\varepsilon}\) & & Virtuelle Verzerrungen \\
+\(\tensor{\varepsilon}\) & & Dehnungen \\
+\(\tensor{\varepsilon}\) & & Verzerrungsvektor \\
 \(\tensorII{\varepsilon}\) & & Verzerrungstensor \\
+\(\vartheta\) &  & Winkel \\
+\(\tensor{\kappa}\) & 1/mm & Krümmungen \\
 \(\lambda\) &  & Eigenwert \\
 \(\nu\) &  & Querkontraktionszahl \\
-\(\xi\) &  & Natürliche Koordinaten \\
+\(\tensorI{\xi}\) &  & Natürliche Koordinaten \\
 \(\rho\) & t/mm\(^3\) & Dichte \\
+\(\tensor{\sigma}\) & MPa & Spannungsvektor \\
 \(\tensorII{\sigma}\) & MPa & \textsc{Cauchy}"=Spannungstensor \\
 \(\tensor{\Phi}\) &  & Modale Matrix \\
 \(\tensor{\phi}\) & mm; 1 & Eigenvektor \\

sections/Theorie.tex

@@ -19,14 +19,11 @@
 \subsection{Numerische Strukturmechanik}
 Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
 So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
-als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
+als auch die Eigenformen zum Verständnis der Konstruktion und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
-Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
-%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Prograe einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
-als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
 Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
 %Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
 %verwiesen.
-Die Grundlage dieser Darstellung wiederum sind die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch.
+Wobei die Grundlage dieser Darstellung wiederum die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch sind.
 
 Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
 Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
@@ -629,7 +626,7 @@ Dies entspricht den konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpfereleme
 und führt allgemeinen zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
 Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Festkörper oder zwischen Festkörper und Fluid gemeint.
 
-Bei der Verwendung von proportionaler Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder Rayleigh"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
+Bei der Verwendung von proportionaler Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder \textsc{Rayleigh}"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
 \[
   \tensor{D} = \alpha\tensor{M} + \beta\tensor{K}
 \]
@@ -678,10 +675,15 @@ Beziehungsweise beschreibt die modale Matrix \(\tensor{\Phi}=[\phi_1 ~ \phi_2 ~
   \tensor{\tilde{K}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi} 
 \]
 Eingesetzt in das System von Differentialgleichung und Linksmultiplikation von \(\tensor{\Phi}^\T\) ergibt eine völlige Entkoppelung in einzelne unabhängige Differentialgleichungen
+%\[
+%  \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi}\tensor{q} = 0
+%  \quad\text{bzw.}\quad
+%  \tilde{m}_i q_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
+%\]
 \[
-  \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi}\tensor{q} = 0
+  \tensor{\tilde{M}}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\tilde{K}}\tensor{q} = 0
   \quad\text{bzw.}\quad
-  \tilde{m}_i q_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
+  \tilde{m}_i \ddt{q}_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
 \]
 Hierin verknüpft die Vektortransformation beziehungsweise Rücktransformation
 \[
@@ -691,7 +693,26 @@ Hierin verknüpft die Vektortransformation beziehungsweise Rücktransformation
 \]
 die physikalischen Koordinaten \(\tensor{\hat{u}}(t)\) mit den modalen Koordinaten \(\tensor{q}(t)\).
 
-Ist hingegen eine Dämpfung zu berücksichtigen, führt die Differentialgleichung einer gedämpften freien Schwingung mit dem exponentiellen Lösungsansatzes
+Ist hingegen eine Dämpfung zu berücksichtigen, 
+kann unter bestimmten Bedingungen weiter mit den Eigenvektoren des ungedämpften Systems gerechnet werden und
+das System bleibt modal entkoppelt
+\[
+  \tensor{\tilde{M}}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\tilde{D}}\tensor{\dt{q}} + \tensor{\tilde{K}}\tensor{q} = 0
+  \quad\text{bzw.}\quad
+  \tilde{m}_i \ddt{q}_i + \tilde{d}_i \dt{q}_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
+\]
+mit der modalen Dämpfungsmatrix
+\[
+  \tensor{\tilde{D}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{D}\tensor{\Phi}
+  \quad\text{bzw.}\quad
+  \tilde{d}_i = \tensor{\phi}_i^\T\tensor{D}\tensor{\phi}_i
+  \quad\wedge\quad
+  0 = \tensor{\phi}_i^\T\tensor{D}\tensor{\phi}_j
+\]
+Für die modale Entkopplung muss beispielsweise die Dämpfung entweder direkt in den modalen Koordinaten eingegeben oder wie oben bereits angedeutet nach \textsc{Rayleigh} proportional zu der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben werden.
+Die erste Variante gibt direkt eine diagonale Dämpfungsmatrix in den modalen Koordinaten vor. Die zweite Variante liefert eine diagonale Dämpfungsmatrix aus dem Wissen dass die Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix diagonalisiert werden und damit auch die proportionale Überlagerung beider.
+
+Im Falle einer beliebigen Dämpfungsmatrix führt die Differentialgleichung einer gedämpften freien Schwingung mit dem exponentiellen Lösungsansatzes
 \[
   \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\lambda t}
 \]
@@ -699,9 +720,9 @@ zu einem quadratischen Eigenwertproblem
 \[
   (\lambda^2\tensor{M} + \lambda\tensor{D} + \tensor{K})\tensor{\phi} = \tensor{0}
 \]
-Als Lösung ergeben sich komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren.
+Als Lösung ergeben sich konjugiert komplexe Eigenwerte und komplexe Eigenvektoren, wobei die Eigenvektoren, entgegen der ungedämpften Schwingung, nicht orthogonal zu der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix sind.
-Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämnpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
+Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
-Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil, so nehmen beispielsweise die Amplituden über der Zeit immer größere Werte an.
+Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil und die Amplituden nehmen über der Zeit immer größere Werte an.
 
 %[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]
 
@@ -1131,7 +1152,7 @@ und die Linienmomente
 \]
 Hierin ist \( \tensor{\overline{C}} = \tensor{Q}^{-1} \tensor{C} \tensor{R} \tensor{Q}^{-1} \tensor{R}^{-1} \) mit der Transformationsmatrix~\(\tensor{Q}\) und der \textsc{Reuter}"=Matrix~\(\tensor{R}\)
 \[
-  \tensor{T} = \begin{bmatrix}
+  \tensor{Q} = \begin{bmatrix}
     \cos^2\vartheta & \sin^2\vartheta &  2\sin\vartheta\cos\vartheta \\
     \sin^2\vartheta & \cos^2\vartheta & -2\sin\vartheta\cos\vartheta \\
     -\sin\vartheta\cos\vartheta & \sin\vartheta\cos\vartheta & \cos^2\vartheta - \sin^2\vartheta