Theorie Komposite Erstlayout hinzugefügt
This commit is contained in:
@@ -9,7 +9,7 @@
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\(A\) & mm\(^2\) & Fläche \\
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\(\tensor{B}\) & & Ableitungen der Formfunktionen \\
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\(\tensorI{b}\) & mm/s\(^2\) & Beschleunigung \\
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\(\tensorIV{C}\) & & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\
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\(\tensorIV{C}\) & MPa & Elastizitätstensor, Elastizitätsmatrix \\
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\(\tensor{D}\) & & Gesamtdämpfungsmatrix \\
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\(\tensor{D}^{(e)}\) & & Elementdämpfungsmatrix \\
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\(\tensor{\tilde{D}}\) & & Modale Dämpfungsmatrix \\
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@@ -41,6 +41,7 @@
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\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}\) & mm/s\(^2\); 1/s\(^2\) & Knotenbeschleunigungen \\
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\(V\) & mm\(^3\) & Volumen \\
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\(V^{(e)}\) & mm\(^3\) & Elementvolumen \\
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\(w\ti{f}\) & MPa & Formänderungsenergiedichte \\
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\(\tensorI{X}\) & mm & Physikalische Koordinaten \\
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\(\tensorI{x}\) & mm & Physikalische Koordinaten \\
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[0.25cm]
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@@ -101,6 +102,7 @@
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\acro{FEM}{Finite Element Methode}
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\acro{FSI}{Fluid-Struktur-Interaktion}
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%\acro{FMEA}{Fehlermöglichkeits- und Einflussanalyse}
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%\acro{UD}{unidirektional}
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\acro{WEA}{Windenergieanlage}
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\acro{VB}{Visual Basic}
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\end{acronym}
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@@ -221,10 +221,49 @@ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen da
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\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
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\end{Array}
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\]
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oder Ausführlich
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\[
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\begin{bmatrix}
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||||
\sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}
|
||||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
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||||
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
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||||
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
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||||
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
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||||
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
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||||
C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
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||||
C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{3} \\ \varepsilon\ti{4} \\ \varepsilon\ti{5} \\ \varepsilon\ti{6}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\quad
|
||||
\text{mit}
|
||||
\quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
~,~
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{3} \\ \varepsilon\ti{4} \\ \varepsilon\ti{5} \\ \varepsilon\ti{6}
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
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Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
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Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
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Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren.
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Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte \(w\ti{f}\)
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\[
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w\ti{f} = \!\!\int\!\!\!\sigma_{ij}\dif\varepsilon_{ij}
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||||
= C_{ijkl}\!\!\int\!\!\!\varepsilon_{kl} \dif\varepsilon_{ij}
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||||
= \frac{1}{2} C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \varepsilon_{ij}
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||||
= \frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}
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||||
\quad\text{mit } \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} ~,~~ i,j,k,l=1,2,3~.
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\]
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die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren (\(C_{ijkl} = C_{klij}\) beziehungsweise \(C_{rs} = C_{sr}\) mit \(r,s=1,2,3,4,5,6\)).
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Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
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Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
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@@ -258,14 +297,14 @@ ist als Verzerrungstensor gegeben
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oder ausführlich
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\[
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\begin{bmatrix}
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||||
\varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{12} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13}
|
||||
\varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
|
||||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
|
||||
\Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
|
||||
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
|
||||
0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
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||||
\Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
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||||
0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
|
||||
\Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
|
||||
\Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
u_1 \\ u_2 \\ u_3
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
@@ -717,4 +756,422 @@ In den nachfolgenden Unterabschnitte wird gezeigt wie das Werkstoffverhalten von
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Grundlage dieses Abschnittes bildet dabei das Werke \citetitle{ermanni04} von \citeauthor{ermanni04}~ \cite{ermanni04}.
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\subsubsection{Werkstoffgesetze}
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Das Materialgesetzt mit 21 unabhängigen Elastizitätskonstanten, wie es im Abschnitt zur Strukturmechanik~\ref{statik} aufgezeigt ist, beschreibt ein anisotropes Material.
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Das im Abschnitt zur Strukturmechanik~\ref{statik} aufgezeigt Materialgesetzt mit 21 unabhängigen Elastizitätskonstanten, beschreibt ein anisotropes Materialgesetz.
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Weist das Material geometrische Symmetrieeigenschaften auf, wie es beispielsweise bei Laminataufbauten der Fall ist, verringert sich die Anzahl von unabhängigen Materialparameter weiter.
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\paragraph{Symmetrieeigenschaften}~\\
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Bei der Existenz einer Symmetrieebene, reduziert sich die Anzahl von unabhängigen Elastizitätskonstanten auf dreizehn.
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Hierbei wird von monoklinem Materialverhalten gesprochen.
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Bei der Existenz von zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieebenen, wobei dann auch eine dritte Symmetrieebene die ebenfalls senkrecht zu den anderen beiden Ebenen existiert, wird das Material durch neun unabhängigen Elastizitätskonstanten beschrieben.
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Es wird hierbei von einem orthotropen Material gesprochen.
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Sind nun weiter die Materialeigenschaften in einer Ebene richtungsunabhängig, wird von transversal isotropen Material gesprochen.
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Ein solches Material wird mit fünf unabhängigen Elastizitätskonstanten beschrieben.
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In guter Näherung sind unidirektional Faserverbundwerkstoffe transversal isotrop.
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Denn die Materialeigenschaften sind, senkrecht zu der Faserverstärkung, in allen Richtungen gleich.
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\paragraph{Materialgesetze}~\\
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Liegt einem durch drei Einheitsvektoren beschriebenes System eine Symmetrieebene, beispielsweise zu der dritten Richtung, vor
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\[
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||||
\tensorI{e}_1^\prime = \tensorI{e}_1 ~,\quad
|
||||
\tensorI{e}_2^\prime = \tensorI{e}_2 ~,\quad
|
||||
\tensorI{e}_3^\prime = -\tensorI{e}_3 ~,
|
||||
\qquad \text{bzw.}\quad \tensor{Q} = \begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & -1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\quad\text{mit } Q_{ij} = \tensorI{e}_i^\prime \cdot \tensorI{e}_j
|
||||
\]
|
||||
so gilt für die Verzerrungen
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||||
\[
|
||||
\begin{Array}{llll} \displaystyle
|
||||
\varepsilon_1^\prime = \varepsilon_1 = \varepsilon_{11} ~, &\quad
|
||||
\varepsilon_2^\prime = \varepsilon_2 = \varepsilon_{22} ~, &\quad
|
||||
\varepsilon_3^\prime = \varepsilon_3 = \varepsilon_{33} ~, \\
|
||||
\varepsilon_4^\prime = -\varepsilon_4 = -2\varepsilon_{23} ~, &\quad
|
||||
\varepsilon_5^\prime = -\varepsilon_5 = -2\varepsilon_{13} ~, &\quad
|
||||
\varepsilon_6^\prime = \varepsilon_6 = 2\varepsilon_{12} ~.
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
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||||
mit der Transformationsbeziehung für Tensoren
|
||||
\[
|
||||
\tensorII{\varepsilon}^\prime = \tensor{Q}\tensorII{\varepsilon}\tensor{Q}^\T \quad\text{bzw.}\quad
|
||||
\varepsilon_{kl}^\prime = q_{ki} q_{lj} \varepsilon_{ij}
|
||||
\]
|
||||
Für die Formänderungsenergiedichte folgt
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||||
\[
|
||||
\begin{Array}{llll} \displaystyle
|
||||
2 w\ti{f} & \displaystyle = \begin{Bmatrix}
|
||||
\phantom{+}C_{11}\varepsilon_1\varepsilon_1
|
||||
+ C_{12}\varepsilon_1\varepsilon_2
|
||||
+ C_{13}\varepsilon_1\varepsilon_3
|
||||
+ C_{14}\varepsilon_1\varepsilon_4
|
||||
+ C_{15}\varepsilon_1\varepsilon_5
|
||||
+ C_{16}\varepsilon_1\varepsilon_6 \\
|
||||
+ C_{21}\varepsilon_2\varepsilon_1
|
||||
+ C_{22}\varepsilon_2\varepsilon_2
|
||||
+ C_{23}\varepsilon_2\varepsilon_3
|
||||
+ C_{24}\varepsilon_2\varepsilon_4
|
||||
+ C_{25}\varepsilon_2\varepsilon_5
|
||||
+ C_{26}\varepsilon_2\varepsilon_6 \\
|
||||
+ C_{31}\varepsilon_3\varepsilon_1
|
||||
+ C_{32}\varepsilon_3\varepsilon_2
|
||||
+ C_{33}\varepsilon_3\varepsilon_3
|
||||
+ C_{34}\varepsilon_3\varepsilon_4
|
||||
+ C_{35}\varepsilon_3\varepsilon_5
|
||||
+ C_{36}\varepsilon_3\varepsilon_6 \\
|
||||
+ C_{41}\varepsilon_4\varepsilon_1
|
||||
+ C_{42}\varepsilon_4\varepsilon_2
|
||||
+ C_{43}\varepsilon_4\varepsilon_3
|
||||
+ C_{44}\varepsilon_4\varepsilon_4
|
||||
+ C_{45}\varepsilon_4\varepsilon_5
|
||||
+ C_{46}\varepsilon_4\varepsilon_6 \\
|
||||
+ C_{51}\varepsilon_5\varepsilon_1
|
||||
+ C_{52}\varepsilon_5\varepsilon_2
|
||||
+ C_{53}\varepsilon_5\varepsilon_3
|
||||
+ C_{54}\varepsilon_5\varepsilon_4
|
||||
+ C_{55}\varepsilon_5\varepsilon_5
|
||||
+ C_{56}\varepsilon_5\varepsilon_6 \\
|
||||
+ C_{61}\varepsilon_6\varepsilon_1
|
||||
+ C_{62}\varepsilon_6\varepsilon_2
|
||||
+ C_{63}\varepsilon_6\varepsilon_3
|
||||
+ C_{64}\varepsilon_6\varepsilon_4
|
||||
+ C_{65}\varepsilon_6\varepsilon_5
|
||||
+ C_{66}\varepsilon_6\varepsilon_6
|
||||
\end{Bmatrix} \\[3.5em]
|
||||
& \displaystyle = \begin{Bmatrix}
|
||||
\phantom{+}C_{11}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_1^\prime
|
||||
+ C_{12}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_2^\prime
|
||||
+ C_{13}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_3^\prime
|
||||
- C_{14}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_4^\prime
|
||||
- C_{15}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_5^\prime
|
||||
+ C_{16}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_6^\prime \\
|
||||
+ C_{21}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_1^\prime
|
||||
+ C_{22}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_2^\prime
|
||||
+ C_{23}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_3^\prime
|
||||
- C_{24}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_4^\prime
|
||||
- C_{25}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_5^\prime
|
||||
+ C_{26}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_6^\prime \\
|
||||
+ C_{31}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_1^\prime
|
||||
+ C_{32}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_2^\prime
|
||||
+ C_{33}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_3^\prime
|
||||
- C_{34}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_4^\prime
|
||||
- C_{35}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_5^\prime
|
||||
+ C_{36}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_6^\prime \\
|
||||
- C_{41}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_1^\prime
|
||||
- C_{42}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_2^\prime
|
||||
- C_{43}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_3^\prime
|
||||
+ C_{44}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_4^\prime
|
||||
+ C_{45}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_5^\prime
|
||||
- C_{46}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_6^\prime \\
|
||||
- C_{51}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_1^\prime
|
||||
- C_{52}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_2^\prime
|
||||
- C_{53}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_3^\prime
|
||||
+ C_{54}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_4^\prime
|
||||
+ C_{55}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_5^\prime
|
||||
- C_{56}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_6^\prime \\
|
||||
+ C_{61}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_1^\prime
|
||||
+ C_{62}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_2^\prime
|
||||
+ C_{63}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_3^\prime
|
||||
- C_{64}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_4^\prime
|
||||
- C_{65}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_5^\prime
|
||||
+ C_{66}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_6^\prime
|
||||
\end{Bmatrix}
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
|
||||
Aufgrund der Gleichheitsbedingung müssen die Elastizitätskonstanten mit verschiedenen Vorzeichen verschwinden.
|
||||
Dabei nimmt das Materialgesetz folgende Form an
|
||||
\[
|
||||
\tensor{C}\ti{monoklin} = \begin{bmatrix}
|
||||
C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & C_{16} \\
|
||||
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & C_{26} \\
|
||||
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & C_{36} \\
|
||||
0 & 0 & 0 & C_{44} & C_{45} & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & C_{45} & C_{55} & 0 \\
|
||||
C_{16} & C_{26} & C_{36} & 0 & 0 & C_{66} \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Für orthotrope Materialien folgt analog
|
||||
\[
|
||||
\tensor{C}\ti{orthotrop} = \begin{bmatrix}
|
||||
C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Ist das orthotrope Material nun gegenüber einer beliebigen Drehung um eine Achse invariant, gelten folgende vier Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten mit der \(x_1\)-Achse als ausgezeichnete Hauptrichtung.
|
||||
\[
|
||||
C_{33}=C_{22} ~,\quad
|
||||
C_{13}=C_{12} ~,\quad
|
||||
C_{66}=C_{55} ~,\quad
|
||||
C_{11}=\frac{1}{2}(C_{22}-C_{23})
|
||||
\]
|
||||
Im isotropen Materialverhalten gelten hingegen folgende Beziehungen
|
||||
\[
|
||||
C_{33}=C_{22}=C_{11} ~,\quad
|
||||
C_{12}=C_{13}=C_{23} ~,\quad
|
||||
C_{66}=C_{55}=C_{44}=\frac{1}{2}(C_{11}-C_{12})
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Steifigkeitsmatrix}~\\
|
||||
Für die Beschreibung der Steifigkeitsmatrix \(\tensor{C}\)
|
||||
in Abhängigkeit von Elastizitäts"= \(E\) und Schubmoduln \(G\) sowie von Poissonzahlen \(\nu\) wird zunächst mit gedachter Steifigkeitsmessung die inverse Beziehung, die Nachgiebigkeit bestimmt.
|
||||
\[
|
||||
\tensor{\varepsilon} = \tensor{S} \tensor{\sigma}
|
||||
\]
|
||||
Hierin ist \(\tensor{S}=\tensor{C}^{-1}\) die Nachgiebigkeitsmatrix.
|
||||
Ausführlich nimmt die Beziehung für orthotrope Materialien folgende Gestalt an
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{3} \\ \varepsilon\ti{4} \\ \varepsilon\ti{5} \\ \varepsilon\ti{6}
|
||||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
|
||||
S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
S_{12} & S_{22} & S_{23} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
S_{13} & S_{23} & S_{33} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & S_{44} & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & S_{55} & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & S_{66} \\
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
\sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Infolge des Zugversuchs, wobei die Längsrichtung der Probe mit der ersten Hauptrichtung identisch ist, besteht folgender einachsiger Spannungszustand
|
||||
\[
|
||||
\tensor{\sigma} = \begin{bmatrix}
|
||||
\sigma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}^\T
|
||||
\]
|
||||
Die Probe hingegen reagiert mit folgenden Dehnungszustand
|
||||
\[
|
||||
\tensor{\sigma} = \begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_3 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}^\T
|
||||
\]
|
||||
Und es ergeben sich folgende Beziehungen
|
||||
\[
|
||||
S_{11} = \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} = \frac{1}{E_1} ~,\quad
|
||||
S_{21} = \frac{\varepsilon_2}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\frac{1}{E_1} = -\frac{\nu_{12}}{E_1} ~,\quad
|
||||
S_{31} = \frac{\varepsilon_3}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon_3}{\varepsilon_1}\frac{1}{E_1} = -\frac{\nu_{13}}{E_1}
|
||||
~,\quad\text{mit } \nu_{ij}=-\frac{\varepsilon_j}{\varepsilon_i}
|
||||
\]
|
||||
Auf gleicher Weise erfolgen in der zweiten und dritten Hauptrichtungen analoge Beziehungen.
|
||||
Ebenso könne reine Schubspannungszustände simuliert werden.
|
||||
Das Resultat ist die folgende Nachgiebigkeitsmatrix
|
||||
\[
|
||||
\tensor{S}\ti{orthotrop} = \begin{bmatrix}
|
||||
\Faktor{1\!}{E_1} & -\Faktor{\nu_{21}}{E_2} & -\Faktor{\nu_{31}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
-\Faktor{\nu_{12}}{E_1} & \Faktor{1\!}{E_2} & -\Faktor{\nu_{32}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
-\Faktor{\nu_{13}}{E_1} & -\Faktor{\nu_{23}}{E_2} & \Faktor{1\!}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & \Faktor{1\!}{G_{23}} & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & \Faktor{1\!}{G_{13}} & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \Faktor{1\!}{G_{12}} \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Für transversal isotrope Werkstoffe beziehungsweise für unidirektional verstärkte Faserverbundwerkstoffe gelten noch folgende Beziehungen
|
||||
\[
|
||||
E_2=E_3=(1+\nu_{23})G_{23} ~,\quad G_{12}=G_{13} ~,\quad \nu_{12}=\nu_{13}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{Mehrschichtentheorie}
|
||||
Die wesentlichen Voraussetzung eines Laminats beziehungsweise der Theorie dünner laminierter Platten oder Mehrschichtentheorie gleichen denen der Theorie für dünne Platten.
|
||||
So ist die Dicke der Platte gegenüber den Querabmessungen gering und
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||||
der senkrecht auf der Mittelfläche stehende ebene Querschnitt bleibt nach der Belastung weiterhin eben.
|
||||
Ebenso verschwinden Querschubdehnungen und es liegt der ebene Spannungszustand vor.
|
||||
Weiter besteht das Laminat aus mehreren ideal miteinander verklebten Einzelschichten,
|
||||
wobei die Einzelschichten aus beliebigen und unterschiedlichen Werkstoffen bestehen können.
|
||||
In makroskopischen Skalen verhält sich ein Laminat wie eine homogene Platte mit speziellen Steifigkeitseigenschaften.
|
||||
|
||||
\paragraph{Ebener Spannungszustand}~\\
|
||||
Mit der dritten Richtung als Dickenrichtung und den Annahmen des ebenen Spannungszustandes verschwinden die Spannungen mit Bezug zur Dickenrichtung \(\sigma_3\), \(\sigma_4\) und \(\sigma_5\).
|
||||
Das inverse Materialgesetz reduziert sich hierbei um die Spalten der verschwindenden Spannungen
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{6}
|
||||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
|
||||
\Faktor{1\!}{E_1} & -\Faktor{\nu_{21}}{E_2} & 0 \\
|
||||
-\Faktor{\nu_{12}}{E_1} & \Faktor{1\!}{E_2} & 0 \\
|
||||
0 & 0 & \Faktor{1\!}{G_{12}} \\
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
\sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{6}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
da die Dehnung in Dickenrichtung \(\varepsilon_3\) unabhängig betrachtet werden kann.
|
||||
\[
|
||||
\varepsilon_3 = -\left( \frac{\nu_{13}}{E_1}\sigma_1 + \frac{\nu_{23}}{E_2}\sigma_2 \right)
|
||||
\]
|
||||
Schließlich ergibt sich das reduzierte Materialgesetz
|
||||
%mit fehlenden Querdehnungseinflüsse der Spannungen in Dickenrichtung
|
||||
zu
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{6}
|
||||
\end{bmatrix} = \frac{1}{1-\nu_{12}\nu_{21}}\begin{bmatrix}
|
||||
E_1 & \nu_{21}E_1 & 0 \\
|
||||
\nu_{12}E_2 & E_2 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & G_{12}(1-\nu_{12}\nu_{21}) \\
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{6}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Kinematik}~\\
|
||||
Für die Beschreibung der Kinematik dünner Platten steht die Mittelfläche als Bezugs.
|
||||
Wird die Platte belastet verschieben sie die Punkte der Mittelfläche im Allgemeinen sowohl in der Plattenebene \(u_0\) und \(v_0\) in den Richtungen \(x\) und \(y\) sowie normal dazu als Durchsenkung \(w_0\) in Dickenrichtung \(z\).
|
||||
Die Verschiebungsbeschreibung der gesamten Platte \(u\) und \(v\) in Abhängigkeit der Dicke ist somit die Bezugsverschiebung \(u_0\) und \(v_0\) minus der Dickenrichtung \(z\) multipliziert mit der entsprechenden partiellen Ableitung der Durchsenkung \(w\ti{,x}\) und \(w\ti{,y}\).
|
||||
\[
|
||||
\begin{Array}{llll} \displaystyle
|
||||
u = u_0 - z w\ti{,x} \\
|
||||
v = v_0 - z w\ti{,y} \\
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
|
||||
Mit den bekannten Zusammenhang von Dehnungen \(\varepsilon\) und Scherung \(\gamma\) zu Verschiebungen \(u\) und \(v\)
|
||||
\[
|
||||
\begin{Array}{rlll} \displaystyle
|
||||
\varepsilon\ti{x} &= u\ti{,x} \\
|
||||
\varepsilon\ti{y} &= u\ti{,y} \\
|
||||
\gamma\ti{xy} &= u\ti{,y} + v\ti{,x} \\
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
|
||||
folgt die kinematische Beziehung
|
||||
\[
|
||||
\begin{Array}{cccccl} \displaystyle
|
||||
\tensor{\varepsilon} &=& \tensor{\varepsilon}^0 &+& z\,\tensor{\kappa}^0 &\quad \text{bzw.} \\
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{x} \\ \varepsilon\ti{y} \\ \gamma\ti{xy}
|
||||
\end{bmatrix} &=&
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{x}^0 \\ \varepsilon\ti{y}^0 \\ \gamma\ti{xy}^0
|
||||
\end{bmatrix} &+& z
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\kappa\ti{x}^0 \\ \kappa\ti{y}^0 \\ \kappa\ti{xy}^0
|
||||
\end{bmatrix} &
|
||||
\quad\text{mit}\quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{x}^0 \\ \varepsilon\ti{y}^0 \\ \gamma\ti{xy}^0
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
u\ti{0,x} \\ v\ti{0,y} \\ u\ti{0,y} + v\ti{0,x}
|
||||
\end{bmatrix} ~,~
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\kappa\ti{x}^0 \\ \kappa\ti{y}^0 \\ \kappa\ti{xy}^0
|
||||
\end{bmatrix} = -z
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
w\ti{0,xx} \\ w\ti{0,yy} \\ 2w\ti{0,xy}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
|
||||
Hierin sind \(\tensor{\varepsilon}^0\) und \(\tensor{\kappa}^0 \) die Dehnung und Krümmungen der Plattenmittelebene.
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Zusammenhang zwischen Linienlasten und Plattenverformungen}~\\
|
||||
Aufgrund den allgemein unterschiedlichen Steifigkeiten der einzelnen Schichten und der Annahme von linear verlaufende Dehnungen über die Plattendicke, ist der Spannungsverlauf unstetig und es wird zur Beschreibung des globalen Verhaltens anstelle von Spannungen und örtliche Dehnungen hingegen die Plattenverformung~\(\tensor{\varepsilon}^0\) und \(\tensor{\kappa}^0\) der Plattentheorie mit auf der Bezugsfläche bezogenen Linienkräfte~\(\tensor{N}\) und Linienmomente~\(\tensor{M}\) benutzt.
|
||||
|
||||
Aus dem Integral der Spannungen über die Dicke \(t\) des Laminats folgen die Linienkräfte
|
||||
\[
|
||||
\tensor{N} = \!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\! \tensor{\sigma} \dif z
|
||||
\qquad
|
||||
\text{mit } \tensor{N} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
N\ti{x} \\ N\ti{y} \\ N\ti{xy}
|
||||
\end{bmatrix} ~,~ \tensor{\sigma} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\sigma\ti{x} \\ \sigma\ti{y} \\ \sigma\ti{xy}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Aus dem Integral mit dem Abstand zur Mittelfläche gewichteten Spannungen über die Dicke des Laminats folgen die Linienmomente
|
||||
\[
|
||||
\tensor{M} = \!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\! \tensor{\sigma} z \dif z
|
||||
\qquad
|
||||
\text{mit } \tensor{M} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
M\ti{x} \\ M\ti{y} \\ M\ti{xy}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\qquad
|
||||
\]
|
||||
Aufgrund den unterschiedlichen Schichten \(k\) mit jeweiligen Dicken \(h_k\) sind für die Linienlasten und Linienmomente über die einzelnen Schichten zu integrieren und anschließend über alle \(n\) Schichten zu summieren.
|
||||
Dabei ist die Summe aller Einzelschichtdicken~\(h_k\) die Laminatdicke~\(t\)
|
||||
\[
|
||||
\sum\limits_{k=1}^n h_k = t
|
||||
\]
|
||||
Mit Bezug zur Dickenrichtung \(z\) wird die Unterseite der \(k\)-ten Schicht mit \(z_{k-1}\) und die Oberseite mit \(z_{k}\) bezeichnet.
|
||||
Die untere Oberfläche des Laminats ist somit \(z_0=-t/2\) und die obere \(z_n = t/2\).
|
||||
|
||||
Mit dem Werkstoffgesetz und der kinematischen Beziehungen folgt für die Linienkräfte
|
||||
\[
|
||||
\tensor{N} = \!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\! \tensor{\sigma} \dif z
|
||||
= \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! \tensor{\varepsilon} \dif z
|
||||
= \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! (\tensor{\varepsilon}^0 + z\,\tensor{\kappa}^0) \dif z
|
||||
= \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \left[ (z_k - z_{k-1})\tensor{\varepsilon}^0 + \frac{1}{2}(z_k^2 - z_{k-1}^2)\tensor{\kappa}^0 \right]
|
||||
\]
|
||||
und die Linienmomente
|
||||
\[
|
||||
\tensor{M}\! = \!\!\!\!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\!\!\! \tensor{\sigma} z \dif z
|
||||
= \!\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! \tensor{\varepsilon} z \dif z
|
||||
= \!\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! (\tensor{\varepsilon}^0 \!+ z\,\tensor{\kappa}^0) z \dif z
|
||||
= \!\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \left[ \frac{1}{2}(z_k^2 - z_{k-1}^2)\tensor{\varepsilon}^0 \!+ \frac{1}{3}(z_k^3 - z_{k-1}^3)\tensor{\kappa}^0 \right]
|
||||
\]
|
||||
Hierin ist \( \tensor{\overline{C}} = \tensor{Q}^{-1} \tensor{C} \tensor{R} \tensor{Q}^{-1} \tensor{R}^{-1} \) mit der Transformationsmatrix~\(\tensor{Q}\) und der \textsc{Reuter}"=Matrix~\(\tensor{R}\)
|
||||
\[
|
||||
\tensor{T} = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos^2\vartheta & \sin^2\vartheta & 2\sin\vartheta\cos\vartheta \\
|
||||
\sin^2\vartheta & \cos^2\vartheta & -2\sin\vartheta\cos\vartheta \\
|
||||
-\sin\vartheta\cos\vartheta & \sin\vartheta\cos\vartheta & \cos^2\vartheta - \sin^2\vartheta
|
||||
\end{bmatrix} ~,
|
||||
\quad \tensor{R} = \begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
die transformierte Steifigkeitsmatrix von den Materialhauptachsensystem~123 in das Bezugssystem~\(xyz\). Gedreht wird hierbei mit dem Winkel \(\vartheta\), die dritte Achse sowie die \(z\)-Achse sind stets gleichgerichtet. Als Resultat stehen zu den Elementen der transformierten Steifigkeitsmatrix folgende Beziehungen
|
||||
\[
|
||||
\begin{Array}{lllll} \displaystyle
|
||||
\overline{C}_{11} = C_{11}\cos^4\vartheta + 2(C_{12}+2C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{22}\sin^4\vartheta \\
|
||||
\overline{C}_{22} = C_{11}\sin^4\vartheta + 2(C_{12}+2C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{22}\cos^4\vartheta \\
|
||||
\overline{C}_{12} = (C_{11}+C_{22}-4C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{12}(\sin^4\vartheta+\cos^4\vartheta) \\
|
||||
\overline{C}_{16} = (C_{11}-C_{12}-2C_{66})\sin\vartheta\cos^3\vartheta + (C_{12}-C_{22}+2C_{66})\sin^3\vartheta\cos\vartheta \\
|
||||
\overline{C}_{26} = (C_{11}-C_{12}-2C_{66})\sin^3\vartheta\cos\vartheta + (C_{12}-C_{22}+2C_{66})\sin\vartheta\cos^3\vartheta \\
|
||||
\overline{C}_{66} = (C_{11}+C_{22}-2C_{12}-2C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{66}(\sin^4\vartheta+\cos^4\vartheta)
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
|
||||
Abschließend wird der Zusammenhang zwischen den Linienlasten und Plattenverformungen in folgender kompakten Form mit der \(\tensor{ABD}\)"=Matrix ausgedrückt
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\tensor{N} \\ \tensor{M}
|
||||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
|
||||
\tensor{A} & \tensor{B} \\
|
||||
\tensor{B} & \tensor{D}
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
\tensor{\varepsilon}^0 \\ \tensor{\kappa}^0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
oder Ausführlich
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
N\ti{x} \\ N\ti{y} \\ N\ti{xy} \\ M\ti{x} \\ M\ti{y} \\ M\ti{xy}
|
||||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
|
||||
A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} \\
|
||||
A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{22} & B_{26} \\
|
||||
A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} \\
|
||||
B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\
|
||||
B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\
|
||||
B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} \\
|
||||
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
|
||||
\varepsilon\ti{x}^0 \\ \varepsilon\ti{y}^0 \\ \gamma\ti{xy}^0 \\ \kappa_{x}^0 \\ \kappa_{y}^0 \\ \kappa_{xy}^0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
mit den Submatrizen
|
||||
\[
|
||||
\begin{Array}{lllll} \displaystyle
|
||||
\tensor{A} = \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k - z_{k-1}) ~, \\[1em] \displaystyle
|
||||
\tensor{B} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k^2 - z_{k-1}^2) ~, \\[1em] \displaystyle
|
||||
\tensor{C} = \frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k^3 - z_{k-1}^3) ~.
|
||||
\end{Array}
|
||||
\]
|
||||
Jeder dieser Submatrizen ist symmetrisch. Damit ist auch die \(\tensor{ABD}\)"=Matrix symmetrisch.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
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