Theorie Dynamik Modale Analyse für den ungedämpften Fall erweitert

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@@ -438,32 +438,62 @@ Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung
 \]
 sowie das Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
 \[
-  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
+  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
 \]
 in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
 \[
-  (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 
+  (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 
 \]
 wobei allgemein \(\euler^{\im\omega t} \neq 0 \) gilt.
 Für die Nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
 \[
   \det{(\tensor{K}-\lambda\tensor{M})} = 0 
 \]
-Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\Phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.
+Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.
-
+Jeder Eigenwert \(\lambda_i\) entspricht eine nichttriviale Lösung mit den Eigenvektor \(\tensor{\phi}_i\).
-Hingegen führt die Differentialgleichung einer gedämpften freien Schwingung und dem exponentiellen Lösungsansatzes
 \[
-  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\lambda t}
+  (\tensor{K} - \lambda_i \tensor{M}) \tensor{\phi}_i = \tensor{0}
+\]
+Die Eigenvektoren sind bezüglich der Steifigkeitsmatrix und der Massenmatrix orthogonal und es gilt
+\[
+  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
+  \tensor{\phi}_i^\T \tensor{M} \tensor{\phi}_j = 0~, &\quad \tensor{\phi}_i^\T \tensor{M} \tensor{\phi}_i = \tilde{m}_i~, \\
+  \tensor{\phi}_i^\T \tensor{K} \tensor{\phi}_j = 0~, &\quad \tensor{\phi}_i^\T \tensor{K} \tensor{\phi}_i = \tilde{k}_i~.
+  \end{Array}
+\]
+wobei \(\tilde{m}_i\) modale Massen und \(\tilde{k}_i\) modale Steifigkeiten sind.
+Beziehungsweise beschreibt die modale Matrix \(\tensor{\Phi}=[\phi_1 ~ \phi_2 ~ \cdots ~ \phi_n]\), in der spaltenweise die Eigenvektoren angeordnet sind, die modale Transformation der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix in Diagonalmatrizen, der sogenannten modalen Massenmatrix sowie modalen Steifigkeitsmatrix.
+\[
+  \tensor{\tilde{M}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi} \quad\text{und}\quad
+  \tensor{\tilde{K}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi} 
+\]
+Eingesetzt in das System von Differentialgleichung und Linksmultiplikation von \(\tensor{\Phi}^\T\) ergibt eine völlige Entkoppelung in einzelne unabhängige Differentialgleichungen
+\[
+  \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi}\tensor{q} = 0
+  \quad\text{bzw.}\quad
+  \tilde{m}_i q_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
+\]
+Hierin verknüpft die Vektortransformation beziehungsweise Rücktransformation
+\[
+  \tensor{q}(t) = \tensor{\Phi}^\T\tensor{\hat{u}}(t)
+  \quad\text{bzw.}\quad
+  \tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\Phi}\tensor{q}(t)
+\]
+die physikalischen Koordinaten \(\tensor{\hat{u}}(t)\) mit den modalen Koordinaten \(\tensor{q}(t)\).
+
+Ist hingegen eine Dämpfung zu berücksichtigen, führt die Differentialgleichung einer gedämpften freien Schwingung mit dem exponentiellen Lösungsansatzes
+\[
+  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\lambda t}
 \]
 zu einem quadratischen Eigenwertproblem
 \[
-  (\lambda^2\tensor{M} + \lambda\tensor{D} + \tensor{K})\tensor{\Phi} = \tensor{0}
+  (\lambda^2\tensor{M} + \lambda\tensor{D} + \tensor{K})\tensor{\phi} = \tensor{0}
 \]
 Als Lösung ergeben sich komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren.
 Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämnpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
 Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil, so nehmen beispielsweise die Amplituden über der Zeit immer größere Werte an.
 
-[[Modale Superposition, Orthogonalität der Eigenvektoren, ggf. Effektive Massen]]
+[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]
 
 \paragraph{Transiente Analyse}~\\
 Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt