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2015-08-28 14:51:13 +02:00
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sections/Einleitung.tex
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@@ -21,14 +21,19 @@ Die FEM-Berechnung wird mit dem Programm ANSYS durchgeführt.
\subsection{Forschungsprojekt}
Das Forschungsprojekt an der \emph{Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg} zur \ac{WindNumSim}\footnote{WindNumSim, URL: \url{http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Graetsch/WindNumSim_main.htm}} ist ein vom \emph{Bundesministerium für Bildung und Forschung} im Rahmen der Förderlinie \glqq IngenieurNachwuchs\grqq\ 2012 im Programm \glqq Forschung an Fachhochschulen\grqq\ gefördertes Projekt. Projektpartner sind unter anderem die \emph{Helmut Schmidt Universität Hamburg} sowie die Firmen Senvion SE\footnote{Senvion SE ehemals bekannt als REpower Systems SE, URL: \url{http://senvion.com/de/}} und FE"=Design\footnote{FE-Design ein von Dassault Systèmes übernommenes Unternehmen, URL \url{http://www.fe-design.de}}.
Untersucht werden hierzu Simulationsmodelle mit \ac{FSI}, die eine Kopplung der Windstömung und der Windenergieanlage schafft. Daraus werden Ergebnisse für die Rotorblätter erwartet, die eine Strukturoptimierung der Rotorblätter ermöglicht. Dabei liegt der Fokus der Strukturoptimierung insbesondere auf die Reduktion der Rotorblattmasse mit dem der Antriebsstrang entlastet wird, der wiederum eine Verbesserung des Wirkungsgrades der Anlage zur Folge hat. Weitere Ziele sind die optimale Blattwinkeleinstellung während des Turmdurchgangs und die Verbesserung der akustischen Eigenschaften der Anlage. Die letztgenannte Verbesserung soll den Schalldruckpegel während des Turmdurchgangs reduzieren und damit, neben der Reduzierung von Verlustenergien auch, eine Akzeptanzsteigerung der Umwelt zur Folge haben.
Untersucht werden hierzu Simulationsmodelle mit \ac{FSI}, die eine Kopplung der Windstömung und der Windenergieanlage ermöglicht.
%Daraus werden Ergebnisse für die Rotorblätter erwartet, die eine Strukturoptimierung der Rotorblätter ermöglicht.
Hierbei werden Erkenntnisse zu den Rotorblätter erwartet, die ebenfalls Grundlage einer Strukturoptimierung der Rotorblätter sein soll.
Der Fokus der Strukturoptimierung liegt insbesondere auf die Reduktion der Rotorblattmasse mit dem der Antriebsstrang entlastet wird, der wiederum eine Verbesserung des Wirkungsgrades der Anlage zur Folge hat. Weitere Ziele sind die optimale Blattwinkeleinstellung während des Turmdurchgangs und die Verbesserung der akustischen Eigenschaften der Anlage. Die letztgenannte Verbesserung soll den Schalldruckpegel während des Turmdurchgangs reduzieren und damit, neben der Reduzierung von Verlustenergien auch, eine Akzeptanzsteigerung der Umwelt zur Folge haben.
\subsection{Windenergieanlage}
Bei der \ac{WEA} handelt es sich um eine von \emph{\ac{NREL}}\footnote{National Renewable Energy Laboratory NREL, URL: \url{http://www.nrel.gov/}} zusammengestellte küstenabgewandte Ausgangs"=\ac{WEA},
welche im Forschungsbericht \emph{Definition of a 5-MW Reference Wind Turbine for Offshore System Development} \cite{NREL09} dokumentiert ist.
Das \ac{NREL} verwendet als Grundlage die öffentlich zugänglichen Informationen der Muster-\ac{WEA} von \emph{Multibrid~M5000} und \emph{REpower~5M}.
Aufgrund unzureichend öffentlichen Informationen der Muster-\ac{WEA}, verwendet das \ac{NREL} zusätzlich öffentlich zugängliche Eigenschaften der Konzeptmodelle von den Projekten \emph{WindPACT}, \emph{RECOFF} und \emph{DOWEC}.
Die \ac{WEA} ist somit eine Zusammensetzung der einzelnen Modellen mit den repräsentativsten Spezifikationen.
Das \ac{NREL} verwendet als Grundlage die öffentlich zugänglichen Informationen der Muster-\ac{WEA}s von \emph{Multibrid~M5000} und \emph{REpower~5M}.
Aufgrund unzureichenden öffentlichen Informationen der Muster-\ac{WEA}s, verwendet das \ac{NREL} zusätzlich öffentlich zugängliche Eigenschaften der Konzeptmodelle von den Projekten \emph{WindPACT}, \emph{RECOFF} und \emph{DOWEC}.
Die \ac{WEA} von \ac{NREL} ist somit eine Zusammensetzung der einzelnen Modellen mit den repräsentativsten Spezifikationen %.
und stellt eine Grundlage für das Forschen an einer einheitliche Anlage dar.
%Hierdurch hat \ac{NREL}, für das Forschen an \ac{WEA}, eine einheitlichen Anlage entwickelt.
Da die \emph{REpower~5M} gegenüber der \emph{Multibrid~M5000} für das \ac{NREL} eher konventionelle und erwartende Eigenschaften hat und die \emph{DOWEC} sehr hohe Übereinstimmung mit der \emph{REpower~5M} hat, ist die \ac{NREL} Ausgangs-\ac{WEA}
hauptsächlich aus diesen beiden Arbeiten entstanden.

32
sections/Modellentwicklung.tex
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@@ -62,13 +62,13 @@ Strukturdämpfung (über alle Moden) & \unit{0,\!477465}{\%} \\
\ac{NREL} richtet sich bei den Rotorblätter an das DOWEC"=Konzeptmodell.
Somit versteht sich der, in der Tabelle~\ref{tab:NRELRotor} angegebene, Skalierungsfaktor darauf, die aus dem DOWEC"=Konzeptmodell übernommene Massenverteilung auf die Gesamtmasse der Rotorblätter von der REpower\,5M Muster"=\ac{WEA} zu skalieren.
\ac{NREL} listet ebenfalls in Abhängigkeit von dem Nabenradius in 49 Stellen Informationen zu Steifigkeiten und Massenschwerpunkte.
\ac{NREL} listet ebenfalls, in Abhängigkeit von dem Nabenradius, an 49 Stellen Informationen zu den Steifigkeiten und den Massenschwerpunkte auf.
Das Masterprojekt \emph{Entwicklung eines Abschnittes des NREL Rotorblattes mit anisotropen Material anhand gegebener Steifigkeitsdaten}~\cite{MP15} setzte sich bereits mit diesen Informationen auseinander und werden hier übernommen.
\subsubsection{Gondel und Spinner}
Die Höhe der Nabe, Spinner und der Gondel über dem Grund ist bei \unit{90}{m} und
Die Höhe der Nabe, des Spinners und der Gondel über dem Grund ist bei \unit{90}{m} und
das Maß zwischen Turmachse und der Rotorebene oder der Nabe ist \unit{5}{m} entgegen der Windrichtung.
Bezogen auf der Gesamtturmhöhe liegt die Nabe \unit{2,\!4}{m} höher.
Damit liegt das Gierlager bei einer Höhe von \unit{87,\!6}{m} über dem Grund.
@@ -97,7 +97,7 @@ Lage über dem Gierlager & \unit{1,\!75}{m} \\[.25em]
\subsubsection{Antrieb}
Die Nennumdrehungsgeschwindigkeit der \ac{WEA} von \unit{12,\!1}{min^{-1}} orientiert sich an der REpower\,5M Anlage.
Die Tabelle \ref{tab:NRELAntrieb} listet die von \ac{NREL} ausgewählten Eigenschaften des Antribes auf.
Die Tabelle \ref{tab:NRELAntrieb} listet die von \ac{NREL} ausgewählten Eigenschaften des Antriebes auf.
\begin{table}[H]
\caption[Eigenschaften vom Antrieb der NREL 5-MW Ausgangs"=Windenergieanlage]{Eigenschaften vom Antrieb der NREL 5-MW Ausgangs"=Windenergieanlage~\cite{NREL09}}\label{tab:NRELAntrieb}\centering
\begin{tabular}{llllllll}
@@ -142,7 +142,9 @@ Strukturdämpfung (über alle Moden) & \unit{1}{\%} \\
\subsubsection{Frequenzen und stationäres Verhalten der Forschungsanlage}
\ac{NREL} berechnete mit zwei verschiedenen Modellen Eigenfrequenzen einer linearisierten Eigenwertanalyse ihrer küstenzugewandten Ausgangs"=\ac{WEA}. Benannt sind die beiden Modelle als FAST"=Modell und ADAMS"=Modell und beschreiben eine balkenähnliche Simulation.
\ac{NREL} berechnete mit zwei verschiedenen %Modellen
Programmen
Eigenfrequenzen einer linearisierten Eigenwertanalyse ihrer küstenzugewandten Ausgangs"=\ac{WEA}. Benannt sind die beiden Modelle als FAST"=Modell und ADAMS"=Modell und beschreiben eine balkenähnliche Simulation.
%Beide Modelle berechnen das linearisierte Eigenwertproblem.
Das Ergebnis dieser Eigenfrequenzanalyse listet die Tabelle \ref{tab:NRELFreq} auf.
@@ -193,15 +195,15 @@ Steifigkeiten und Massen zuzuweisen.
Dabei zeigten anfängliche Versuche im Forschungsprojekt \ac{WindNumSim}, dass das Nachbilden der Steifigkeiten für die Rotorblätter mit den zur Verfügung stehenden Daten nicht trivial sind.
Somit ist es beispielsweise unmöglich das Verhalten der \ac{WEA} mit ausschließlich isotrope Werkstoffe nachzuempfinden. %% TODO: Referenz zu einer Arbeit
Erste Überlegungen die Steifigkeit für das Rotorblatt abzubilden wurden in einem vorangegangenen Masterprojekt~\citep{MP15} durchgeführt. Als Resultat wird eine Modellierung nach \ac{SNL} \cite{SANDIA13} gewählt, welches ein in \acs{MATLAB} geschriebenes Programm speziell zur Berechnung von Rotorblättern entwickelte.
Dieses Programm -- genannt \acs{NuMAD} -- erstellt ein in \emph{\ac{APDL}} geschriebene Datei. Das Ergebnis der Rotorblattmodellierung welche die vorgegebenen Steifigkeiten nachbilden zeigt die Abbildung \ref{fig:LageraufbautenAPDL}.
Dieses Programm -- genannt \acs{NuMAD} -- erstellt ein in \emph{\ac{APDL}} geschriebene Datei. Das Ergebnis der Rotorblattmodellierung welche die vorgegebenen Steifigkeiten nachbilden zeigt die Abbildung \ref{fig:LagenaufbautenAPDL}.
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Lageraufbauten_iso_ou.PNG}
\caption{Lageraufbauten im Rotorblatt mit Hilfe von Sandias NuMAD-Programm}
\label{fig:LageraufbautenAPDL}
\caption{Lagenaufbauten im Rotorblatt mit Hilfe von Sandias NuMAD-Programm}
\label{fig:LagenaufbautenAPDL}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
In Abbildung~\ref{fig:LageraufbautenAPDL} ist zusehen, dass das Modell aus vielen kleinen Einzelflächen besteht.
In Abbildung~\ref{fig:LagenaufbautenAPDL} ist zusehen, dass das Modell aus vielen kleinen Einzelflächen besteht.
Auf diesen Einzelflächen sind jeweils eigene Materialparameter in Form von unterschiedliche Lagenaufbauten mit unterschiedlichen Materialien verbunden.
Die hauptsächliche Modifikation besteht darin, das CATIA"=Modell um die dargestellten Einzelflächen zu erweitern, sodass diese in das vom Forschungsprojekt verwendete ANSYS"=Workbench"=Modell importiert und mit den Lageraufbauten erweitert werden kann.
Die hauptsächliche Modifikation besteht darin, das CATIA"=Modell um die dargestellten Einzelflächen zu erweitern, sodass diese in das vom Forschungsprojekt verwendete ANSYS"=Workbench"=Modell importiert und mit den Lagenaufbauten erweitert werden kann.
\subsubsection{Rotorblatt}
@@ -463,12 +465,12 @@ Das Ergebnis der bisherigen Schritten ist in Abbildung~\ref{fig:LängsschnitteCA
Mit dem MATLAB"=Programmausdruck~\ref{lst:MATLAB-CATIA-Makro} im Anhang kann das vollständige CATIA"=Makro erzeugt und in CATIA mit dem übernommenen Computermodell ausgeführt werden.
Als letzte Aufbereitung für das Rotorblatt werden die Längsflächen direkt in CATIA mit dem Rotorblatt geschnitten sowie überstehende Flächen der Längsversteifungen getrimmt.
An dieser sind alle Vorbereitungen für das Simulationsmodell vorgenommen.
An dieser Stelle sind alle Vorbereitungen für das Simulationsmodell vorgenommen.
Die anderen Bauteile der \ac{WEA} sind ausreichend modelliert beziehungsweise benötigen keine Modifikation für den Einbau von Materialparameter.
\subsection{Simulationsmodell} % Berechnungsmodell oder Simulationsmodell
In diesem Abschnitt wird der Aufbau des Simulationsmodells näher beschrieben.
In diesem Abschnitt wird der Aufbau des Simulationsmodells beschrieben.
Dabei wird auf verwendete Elemente, Netzfeinheit und Randbedingungen sowie vorgegebene Analyseeinstellung eingegangen.
Die Simulation erfolgt mit dem FEM"=Programm \emph{ANSYS} über die \emph{Workbench}-Oberfläche in der 15.\,Version.
@@ -508,9 +510,9 @@ Dabei variiert der Lagenaufbau je nach Position beziehungsweise von der jeweilig
}\\\nopagebreak
%
Die Informationen der Lagenaufbauten, die die Zuordnung zu den Einzelflächen und die jeweiligen Dicken des Mehrschichtverbunds beschreiben sind in der ANSYS"=Einlesedatei \texttt{shell7.src} von Zeile 145 bis 8.677 zu finden.
Ein Ausschnitt des Inhalts ist in den folgenden Programmausdruck~\ref{lst:APDL-Lageraufbau} dargestellt.
Ein Ausschnitt des Inhalts ist in den folgenden Programmausdruck~\ref{lst:APDL-Lagenaufbau} dargestellt.
%
\begin{lstlisting}[firstnumber=145, style=custom, language=Fortran, basicstyle=\ttfamily\scriptsize, caption={APDL shell7.src: Definition der Lagenaufbauten}, label=lst:APDL-Lageraufbau]
\begin{lstlisting}[firstnumber=145, style=custom, language=Fortran, basicstyle=\ttfamily\scriptsize, caption={APDL shell7.src: Definition der Lagenaufbauten}, label=lst:APDL-Lagenaufbau]
! WRITE THE COMPOSITES =================================
! 000000\_HP\_CAP
@@ -535,7 +537,7 @@ Die Abbildungen~\ref{fig:Längsschnitte} sowie~\ref{fig:Querschnitt} stellen und
%
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Laengsschnitte_drauf.PNG}
\caption{Lageraufbauten im Rotorblatt mit gleichen Materialzusammensetzungen}
\caption{Lagenaufbauten im Rotorblatt mit gleichen Materialzusammensetzungen}
\label{fig:Längsschnitte}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
%
@@ -546,7 +548,7 @@ Hierbei ist die Unterseite des Rotorblatts analog zu der in Abbildung~\ref{fig:L
% 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics[width=0.30\textwidth,angle=-90,trim={1cm 0 1.5cm 0},clip]{Querschnitt.pdf}
\caption{Lageraufbauten im Rotorblatt mit gleichen Materialzusammensetzungen im Querschnitt bei 17\,m}
\caption{Lagenaufbauten im Rotorblatt mit gleichen Materialzusammensetzungen im Querschnitt bei 17\,m}
\label{fig:Querschnitt}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
%

35
sections/Theorie.tex
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@@ -17,19 +17,20 @@
\subsection{Numerische Strukturmechanik}
Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken um physikalische Fragestellungen zu beantworten.
So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten
als auch die Eigenformen zum Verständnis der Konstruktion und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse.
Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
%verwiesen.
Wobei die Grundlage dieser Darstellung wiederum die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch sind.
Die Grundlagen dieser Darstellung sind die Literaturen \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch.
%Wobei die Grundlage dieser Darstellung wiederum die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch sind.
Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
und bei allgemeinen dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
@@ -41,14 +42,14 @@ Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein bel
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } v, \\
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial v_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial v_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.}
&&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset ~.}
\end{Array}
\]
Die Summe der
%partiell abgeleiteten
%inneren Spannungen
gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch folgende Gleichung sowie Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften.
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch folgende Gleichgewichtsformulierung sowie Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften.
\[
\begin{Array}{rll}\displaystyle
\left(\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x - \sigma\ti{xx}\right)\dif y \dif z +
@@ -194,7 +195,7 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da
\end{figure} \vspace{-1.5em}
\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(v)\cap C(\overline{v}) \text{ mit } \overline{v}=v \cup \partial v,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial v_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(v\)
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen oder wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(v)\cap C(\overline{v}) \text{ mit } \overline{v}=v \cup \partial v,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial v_1\)) mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(v\)
\[
%
% \underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a
@@ -379,13 +380,13 @@ oder Ausführlich
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte \(w\ti{f}\)
Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte %\(w\ti{f}\)
\[
w\ti{f} = \!\!\int\!\!\!\sigma_{ij}\dif\varepsilon_{ij}
= C_{ijkl}\!\!\int\!\!\!\varepsilon_{kl} \dif\varepsilon_{ij}
= \frac{1}{2} C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \varepsilon_{ij}
= \frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}
\quad\text{mit } \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} ~,~~ i,j,k,l=1,2,3~.
\quad\text{mit } \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} ~,~~ i,j,k,l=1,2,3~
\]
die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren (\(C_{ijkl} = C_{klij}\) beziehungsweise \(C_{rs} = C_{sr}\) mit \(r,s=1,2,3,4,5,6\)).
@@ -417,7 +418,7 @@ Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} bezie
\[
V \approx \bigcup V^{(e)}
\]
Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elemente.
Hiermit entspricht das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elementvolumen.
Die \emph{Approximation}, mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten, lautet
\[
@@ -519,7 +520,7 @@ Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit de
N_8(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
\end{Array}
\]
wobei für die Anordnung in die Matrix der Formfunktionen~\(\tensor{N}\) zuerst die jeweilige Formfunktion zum Knoten \(N_i\) diagonal zu jeden Freiheitsgrad in eine Untermatrix \(\tensor{N}_{\!i}\) abgebildet werden. Anschließend werden diese Untermatrizen in Reihe für jeden Knoten angeordnet.
Für die Anordnung in die Matrix der Formfunktionen~\(\tensor{N}\) werden die jeweilige Formfunktion zum Knoten \(N_i\) zuerst diagonal zu jeden Freiheitsgrad in eine Untermatrix \(\tensor{N}_{\!i}\) abgebildet. Anschließend werden diese Untermatrizen in Reihe für jeden Knoten angeordnet.
\[
\tensor{N}_i(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
N_i(\tensorI{\xi}) & 0 & 0 \\
@@ -725,7 +726,7 @@ Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\
\paragraph{Dämpfung}~\\
Der allgemeine Dämpfungsansatz erfolgt, wie gezeigt, in gleicherweise wie die Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix durch Überlagerung von Elementmatrizen.
Dies entspricht den konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpferelemente, die mit bekannte Dämpfungskonstante \(d\) berücksichtigt werden,
Dies entspricht dem konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpferelemente, die mit der bekannten Dämpfungskonstante \(d\) berücksichtigt werden,
und führt allgemeinen zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Festkörper oder zwischen Festkörper und Fluid gemeint.
@@ -895,7 +896,7 @@ Vorerst werden mit der numerischen Zeitintegration nach \textsc{Newmark} die mod
In der Regel werden von den \(n\) Gleichungen die ersten \(o\) Eigenfrequenzen und Eigenformen berechnet und dabei die höheren Eigenmoden vernachlässigt.
Bei strukturdynamische Probleme beschreiben zumeist die niedrigen Moden das Verhalten der Struktur.
Aus diesem Grund werden von den \(o\) berechneten Moden oftmals die ersten \(p\) Eigenfrequenzen und Eigenformen mitgenommen.
Der Vorteil der Berechnung des Gleichungssystems mit der modalen Superposition liegt zum einen an das entkoppelte Gleichungssystems und zum anderen an der unvollständigen Transformation (\(\tensor{\Phi}_{n\times p}, p < n\)) des Gleichungssystems, wobei, gegenüber dem vollen Gleichungssystem, weniger Differentialgleichungen gelöst werden.
Der Vorteil der Berechnung des Gleichungssystems mit der modalen Superposition liegt zum einen an das entkoppelte Gleichungssystems und zum anderen an der unvollständigen Transformation (\(\tensor{\Phi}_{n\times p}, p < n\)) des Gleichungssystems. Somit werden gegenüber dem vollen Gleichungssystem, weniger Differentialgleichungen gelöst.
Zur genaueren Beschreibung von \glqq in der Regel\grqq\ und \glqq oftmals\grqq , für die unvollständige Transformation beziehungsweise der gewählten Anzahl von Moden \(p < n\), sollte auf eine Systemanregung von mindesten 85 bis 90 Prozent der Gesamtmasse \(m\ti{ges}\) je Raumrichtung geachtet werden.
\[
@@ -1158,7 +1159,7 @@ Für transversal isotrope Werkstoffe beziehungsweise für unidirektional verstä
\subsubsection{Mehrschichtentheorie}
Die wesentlichen Voraussetzung eines Laminats beziehungsweise der Theorie dünner laminierter Platten oder Mehrschichtentheorie gleichen denen der Theorie für dünne Platten.
Die wesentlichen Voraussetzung eines Laminats beziehungsweise der Theorie dünner laminierter Platten -- auch \emph{klassische Laminattheorie} oder \emph{Mehrschichtentheorie} -- gleichen denen der Theorie für dünne Platten.
So ist die Dicke der Platte gegenüber den Querabmessungen gering und
der senkrecht auf der Mittelfläche stehende ebene Querschnitt bleibt nach der Belastung weiterhin eben.
Ebenso verschwinden Querschubdehnungen und es liegt der ebene Spannungszustand vor.
@@ -1168,7 +1169,7 @@ In makroskopischen Skalen verhält sich ein Laminat wie eine homogene Platte mit
\paragraph{Ebener Spannungszustand}~\\
Mit der dritten Richtung als Dickenrichtung und den Annahmen des ebenen Spannungszustandes verschwinden die Spannungen mit Bezug zur Dickenrichtung \(\sigma_3\), \(\sigma_4\) und \(\sigma_5\).
Das inverse Materialgesetz reduziert sich hierbei um die Spalten der verschwindenden Spannungen
Das inverse Materialgesetz reduziert sich hierbei um die Spalten der vernachlässigten Spannungen
\[
\begin{bmatrix}
\varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{6}
@@ -1201,7 +1202,7 @@ zu
\paragraph{Kinematik}~\\
Für die Beschreibung der Kinematik dünner Platten steht die Mittelfläche als Bezugs.
Für die Beschreibung der Kinematik dünner Platten steht die Mittelfläche als Bezugsfläche.
Wird die Platte belastet verschieben sie die Punkte der Mittelfläche im Allgemeinen sowohl in der Plattenebene \(u_0\) und \(v_0\) in den Richtungen \(x\) und \(y\) sowie normal dazu als Durchsenkung \(w_0\) in Dickenrichtung \(z\).
Die Verschiebungsbeschreibung der gesamten Platte \(u\) und \(v\) in Abhängigkeit der Dicke ist somit die Bezugsverschiebung \(u_0\) und \(v_0\) minus der Dickenrichtung \(z\) multipliziert mit der entsprechenden partiellen Ableitung der Durchsenkung \(w\ti{,x}\) und \(w\ti{,y}\).
\[
@@ -1274,7 +1275,7 @@ Aus dem Integral mit dem Abstand zur Mittelfläche gewichteten Spannungen über
\end{bmatrix}
\qquad
\]
Aufgrund den unterschiedlichen Schichten \(k\) mit jeweiligen Dicken \(h_k\) sind für die Linienlasten und Linienmomente über die einzelnen Schichten zu integrieren und anschließend über alle \(n\) Schichten zu summieren.
Aufgrund den unterschiedlichen Schichten \(k\), mit jeweiligen Dicken \(h_k\), sind für die Linienlasten und Linienmomente über die einzelnen Schichten zu integrieren und anschließend über alle \(n\) Schichten zu summieren.
Dabei ist die Summe aller Einzelschichtdicken~\(h_k\) die Laminatdicke~\(t\)
\[
\sum\limits_{k=1}^n h_k = t
@@ -1349,7 +1350,7 @@ mit den Submatrizen
\begin{Array}{lllll} \displaystyle
\tensor{A} = \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k - z_{k-1}) ~, \\[1em] \displaystyle
\tensor{B} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k^2 - z_{k-1}^2) ~, \\[1em] \displaystyle
\tensor{C} = \frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k^3 - z_{k-1}^3) ~.
\tensor{D} = \frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k^3 - z_{k-1}^3) ~.
\end{Array}
\]
Jeder dieser Submatrizen ist symmetrisch. Damit ist auch die \(\tensor{ABD}\)"=Matrix symmetrisch.

8
sections/Title.tex
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@@ -37,8 +37,12 @@ der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg\\[1em]
%Abteilung XX \\
%Straße Nr. \\
%PLZ Ort \\[1em]
Erstprüfer: Professor Dr.-Ing.\,Thomas Grätsch\\%Erstprüfer/in: Titel und Name ||| Betreuuer
Zweitprüfer: Professor Dr.-Ing.\,habil.\,Frank Ihlenburg\\%[0.5em]
\begin{tabular}{@{}l@{}l}
Erstprüfer: &\, Professor Dr.-Ing.\,Thomas Grätsch\\%Erstprüfer/in: Titel und Name ||| Betreuuer
Zweitprüfer: &\, Professor Dr.-Ing.\,habil.\,Frank Ihlenburg \\
\end{tabular}\\
%Erstprüfer: Professor Dr.-Ing.\,Thomas Grätsch\\%Erstprüfer/in: Titel und Name ||| Betreuuer
%Zweitprüfer: Professor Dr.-Ing.\,habil.\,Frank Ihlenburg\\%[0.5em]
%Industrieller Betreuer/in: Titel und Name \\
[1em]
Abgabedatum: 05. August 2015\\};