Theorie FVW angefangen

sections/References.bib

@@ -52,6 +52,16 @@
   edition = {},
   gender={sm},
 }
+@BOOK{ermanni04,
+  author = {Ermanni, Paolo and Kress, Gerald},
+  title= {Leichtbau III},
+  subtitle= {Faserverbundstrukturen},
+  publisher = {Eidgenössische Technische Hochule Zürich},
+  year = {2004},
+  address = {Zürich},
+  edition = {},
+  gender={pm},
+}
 @BOOK{tm409,
   author = {Gross, Dietmar and Hauger, Werner and Wriggers, Peter},
   title = {Technische Mechanik},

sections/Theorie.tex

@@ -3,16 +3,13 @@
 \thispagestyle{plain}
 \section{Theoretische Grundlagen}\label{sec:Theorie}
 
-\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
-\ac{CAD}
+%\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
+%\ac{CAD}
 
 %\subsubsection{Flächendarstellung}
 %\subsubsection{Datenaustausch}
 
 
-\subsection{Faserverbundwerkstoffe}
-
-
 %\subsection{Aerodynamik einer Windenergieanlage}
 
 
@@ -40,14 +37,14 @@ die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingetei
 die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
 die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
 
-\subsubsection{Statische Analysen}
+\subsubsection{Statische Analysen}\label{statik}
 Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- 
 \[
-  \begin{Array}{rll}
+  \begin{Array}{rlll}
     \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
-    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
-    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
-    &&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
+    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)}\\
+    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
+    &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
   \end{Array}
 \]
 Die Summe der
@@ -66,7 +63,7 @@ gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
   \sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0
   \end{Array}
 \]
-Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
+Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
 Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. 
 
 
@@ -369,7 +366,7 @@ Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Im
     \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
     \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
     \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
-    &&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
+    &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
   \end{Array}
 \]
 Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.
@@ -556,4 +553,20 @@ Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der Newmark"=Methode eine Abkling
   \gamma \geq 0
 \]
 
-%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\
+%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\
+
+
+\subsection{Faserverbundwerkstoffe}
+Faserverbundwerkstoffe sind auf makroskopischer Ebene eine Kombination von mehreren Materialien.
+Ihr Vorteil liegt bei geeigneter Gestaltung darin, dass positive Eigenschaften der einzelnen Komponenten und mitunter auch Eigenschaften die nur in Kombinationen auftreten hervorgebracht werden.
+Unterschieden wird bei Faserverbundwerkstoffen zwischen Werkstoffe die
+aus einer Matrix mit eingebetteten Fasern und 
+aus Laminate, die aus mehreren Schichten von Materialien verbunden sind,
+bestehen. 
+Sowohl die Faserarchitektur als auch der Laminataufbau haben signifikanten Einfluss auf das makroskopische Werkstoffverhalten.
+
+In den nachfolgenden Unterabschnitte wird gezeigt wie das Werkstoffverhalten von Faserverbundwerkstoffen beschrieben werden kann.
+Grundlage dieses Abschnittes bildet dabei das Werke \citetitle{ermanni04} von \citeauthor{ermanni04}~ \cite{ermanni04}.
+
+\subsubsection{Werkstoffgesetze}
+Das Materialgesetzt mit 21 unabhängigen Elastizitätskonstanten, wie es im Abschnitt zur Strukturmechanik~\ref{statik} aufgezeigt ist, beschreibt ein anisotropes Material.