Theorie der modalen Superposition mit Beschreibung der modalen Masse und des modalern Beteilungsfaktors hinzugefügt

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@@ -727,7 +727,7 @@ Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil und die Amplituden neh
 %[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]
 
 \paragraph{Transiente Analyse}~\\
-Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
+Neben der Volumendiskretisierung wird, für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen, das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
 \[
   [0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
 \]
@@ -774,6 +774,49 @@ Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der \textsc{Newmark}"=Methode ein
   \gamma \geq 0
 \]
 
+Kann das halbdiskrete FE"=Gleichungssystem modal entkoppelt werden
+\[
+  \tensor{\tilde{M}}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\tilde{D}}\tensor{\dt{q}} + \tensor{\tilde{K}}\tensor{q} = \tensor{\tilde{r}}
+  \quad\text{bzw.}\quad
+  \tilde{m}_i \ddt{q}_i + \tilde{d}_i \dt{q}_i + \tilde{k}_i q_i = \tilde{r}_i ~, \quad i=1,\ldots,p \leq n
+\]
+mit den in modalen Koordinaten beschriebenen Lasten
+\[
+  \tensor{\tilde{r}}(t) = \tensor{\Phi}^\T \tensor{\hat{r}}(t)
+\]
+kann die Methode der \emph{modalen Superposition} genutzt werde.
+Vorerst werden mit der numerischen Zeitintegration nach \textsc{Newmark} die modalen Koordinaten bestimmt und anschließend diese in die physikalischen Koordinaten rücktransformiert.
+\[
+  \tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\Phi} \tensor{q}(t) = \sum \tensor{\phi}_i \cdot \tensor{q}(t)
+\]
+In der Regel werden von den \(n\) Gleichungen die ersten \(o\) Eigenfrequenzen und Eigenformen berechnet und dabei die höheren Eigenmoden vernachlässigt.
+Bei strukturdynamische Probleme beschreiben zumeist die niedrigen Moden das Verhalten der Struktur.
+Aus diesem Grund werden von den \(o\) berechneten Moden oftmals die ersten \(p\) Eigenfrequenzen und Eigenformen mitgenommen.
+Der Vorteil der Berechnung des Gleichungssystems mit der modalen Superposition liegt zum einen an das entkoppelte Gleichungssystems und zum anderen an der unvollständigen Transformation (\(\tensor{\Phi}_{n\times p}, p < n\)) des Gleichungssystems, wobei, gegenüber dem vollen Gleichungssystem, weniger Differentialgleichungen gelöst werden. 
+
+Zur genaueren Beschreibung von \glqq in der Regel\grqq\ und \glqq oftmals\grqq , für die unvollständige Transformation beziehungsweise der gewählten Anzahl von Moden \(p < n\), sollte auf eine Systemanregung von mindesten 85 bis 90 Prozent der Gesamtmasse \(m\ti{ges}\) je Raumrichtung geachtet werden. 
+\[
+  \sum\limits_{i=1}^p m_{ik}\ho{eff} \approx m\ti{ges}
+\]
+Hierin ist \(m_{ik}\ho{eff}\) die \emph{effektive Masse} zu der  \(i\)"=ten Mode und der \(k\)"=ten Raumrichtung.
+Berechnet wird die effektive Masse mit der modalen Masse und den zugehörigen \emph{modalen Beteiligungsfaktor} \(\Gamma_{ik}\)
+\[
+  m_{ik}\ho{eff} = \tilde{m}_i \Gamma_{ik}^2
+\]
+Der modale Beteiligungsfaktor \(\Gamma_{ik}\) gibt mit der folgenden Beziehung
+\[
+  \Gamma_{ik} = \frac{1}{\tilde{m}_i} \tensor{\phi}_i \tensor{M} \tensor{d}_k
+\]
+an, wie groß der Anteil einzelner Moden je Raumrichtung ist.
+Hierin beschreibt \(d_k\) die Starrkörperbewegung des Systems in die Richtung von \(k\).
+Soll beispielsweise, für ein globales System mit den globalen Freiheitsgraden \(xyz\), die \(x\)"=Richtung beurteilt werden, nimmt der Vektor zur Beschreibung der Starrkörperbewegung folgenden Form an
+\[
+  \tensor{d}_k = \begin{bmatrix}
+    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0
+  \end{bmatrix}^\T
+\]
+
+
 %\paragraph{Stationäre Analyse}~\\