Theorie und Modellentwicklung erweitert
This commit is contained in:
@@ -6,8 +6,8 @@
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\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
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\ac{CAD}
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\subsubsection{Flächendarstellung}
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\subsubsection{Datenaustausch}
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%\subsubsection{Flächendarstellung}
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%\subsubsection{Datenaustausch}
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\subsection{Faserverbundwerkstoffe}
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@@ -23,23 +23,24 @@
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Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
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So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten
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als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse.
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In den nachfolgenden Abschnitten wird auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
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Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
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verwiesen.
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Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
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%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
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%verwiesen.
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Die Grundlage dieser Darstellung wiederum sind die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch.
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Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
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Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
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und bei dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
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und bei allgemeinen dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
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Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
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Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
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die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
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die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
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die Assemblierung welche das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
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die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.
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\subsubsection{Statische Analysen}
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Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung --
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\[
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\begin{Array}{rcl}
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\begin{Array}{rll}
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\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
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\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
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\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
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@@ -52,7 +53,7 @@ Die Summe der
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gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
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~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften.
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Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
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Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit der ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
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Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird.
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%\begin{tikzpicture}
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@@ -184,7 +185,7 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier das Variat
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\end{figure} \vspace{-1.5em}
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\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
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Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)), mit anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
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Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
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\[
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A
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% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
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@@ -198,7 +199,7 @@ wobei
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\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
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(Green'sche Integralsatz)
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sowie
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\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Die Integration erfolgt für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen.
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\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.
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\paragraph{Materialgesetz}~\\
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Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das folgende Materialgesetz
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@@ -208,7 +209,7 @@ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das fol
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\text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
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\end{Array}
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\]
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Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Größe beschrieben wird.
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Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
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Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
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Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
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@@ -249,7 +250,7 @@ Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} bezie
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Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elemente.
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Die \emph{Approximation} mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten lautet
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Die \emph{Approximation}, mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten, lautet
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\[
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\tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
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\]
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@@ -260,20 +261,23 @@ Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Fo
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\]
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Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
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\[
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\begin{Array}{lll} \displaystyle
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} =
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\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
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\quad , \quad
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V}_{\delta W\ti{a}} =
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\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
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\quad , \\[4.5em]
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\displaystyle
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\underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} =
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||||
\underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
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\end{Array}
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\]
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Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
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\[
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\begin{Array}{rll} \displaystyle
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}} \\
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||||
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}} \\[2em]
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& \displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\
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||||
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em]
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& \displaystyle =
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
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\end{Array}
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@@ -284,10 +288,10 @@ Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\)
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Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
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\[
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\begin{Array}{rll} \displaystyle
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\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V \\
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||||
\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle =
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||||
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \sum\limits_{(e)} \delta\tensorI{\hat{u}}^\T\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A \\[2em]
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& \displaystyle =
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\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V\\
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||||
\sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A\\[1.5em]
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& \displaystyle =
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\delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
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\end{Array}
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@@ -318,12 +322,76 @@ mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösba
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\subsubsection{Dynamische Analysen}
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Im Gegensatz zu dem statischen Fall~\(\tensorI{u}(\tensorI{x})\) sind bei dynamischen zeitabhängigen Problemen~\(\tensorI{u}(\tensorI{x},t)\) -- die Bewegungen beschreiben -- Trägheitskräfte \(\rho\tensorI{\ddt{u}}\) zu berücksichtigen.
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Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtung.
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Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt
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\[
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\begin{Array}{rcl}
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\begin{Array}{rlll}
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\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
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||||
\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
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||||
\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
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\tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
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\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
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&&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
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\end{Array}
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\]
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\]
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Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.
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Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen
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\[
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\begin{Array}{rlll}
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||||
\nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
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||||
\end{Array}
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\]
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Zu den Anfangsbedingungen gehören
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\[
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\begin{Array}{rlll}
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\tensorI{u}(\tensorI{x},0) = \tensorI{u}_0 \\
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\tensorI{\dt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\dt{u}}_0 \\
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\tensorI{\ddt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\ddt{u}}_0 \\
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\end{Array}
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\]
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Da diese möglichen Anfangsbedingungen nicht unabhängig voneinander sind, werden nur zwei der drei Anfangsbedingungen je Materialpunkt vorgeschrieben.
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Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Differentialgleichung zum Zeitpunkt \(t=0\).
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\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
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Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
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\[
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\int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
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||||
= \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A
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||||
% + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
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\quad \forall t \in [0,T]
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\]
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||||
\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
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...
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\[
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\tensor{K}\tensor{\hat{u}} + \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} = \tensor{\hat{r}}
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\]
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...
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\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
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||||
Die Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung
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\[
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||||
\tensor{K}\tensor{\hat{u}} + \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} = \tensor{0}
|
||||
\]
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||||
Einsetzen des Lösungsansatzes
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||||
\[
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||||
\tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{i\,\omega\,t} \quad \text{mit } i = \sqrt{-1}
|
||||
\]
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||||
in die Differentialgleichung liefert das (reelle) Eigenwertproblem
|
||||
\[
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||||
(-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2
|
||||
\]
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||||
wobei allgemein \(\euler^{i\,\omega\,t} \neq 0 \) gilt.
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||||
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||||
...
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||||
|
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\paragraph{Transiente Analyse}~\\
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Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
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\[
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[0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
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\]
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Zeitintegration nach Newmark \cite{newmark59}...
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Reference in New Issue
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