Theorie Statik Kräftegleichgewicht mit Formel in x-Richtung unterstützt

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@@ -54,7 +54,18 @@ Die Summe der
 %partiell abgeleiteten
 %inneren Spannungen
 gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
-~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften. 
+~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch folgende Gleichung sowie Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften. 
+\[
+  \begin{Array}{rll}\displaystyle
+  \left(\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x - \sigma\ti{xx}\right)\dif y \dif z +
+  \left(\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y - \tau\ti{yx}\right)\dif x \dif z +
+  \left(\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z - \tau\ti{zx}\right)\dif x \dif y ~&(+)\\
+  + f\ti{x}\dif x \dif y \dif z &= 0
+  \\ \displaystyle
+  \implies \quad
+  \sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0
+  \end{Array}
+\]
 Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
 Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. 
 
@@ -181,7 +192,7 @@ Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst da
   \draw[->,dashed] (.5,.5,0) -- (.1,.5,0) node[above right] {$\tau\ti{zx}$};
     
   % fx
-  \draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$} -- (.1,.5,.5);
+  \draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.1,.5,.5) -- (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$};
 }
 \end{tikzpicture}
 \caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
@@ -206,7 +217,7 @@ sowie
 \( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.
 
 \paragraph{Materialgesetz}~\\
-Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das folgende Materialgesetz
+Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen das folgende Materialgesetz
 \[
   \begin{Array}{rrcll}
   &\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon} & \text{bzw.}\quad\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \\
@@ -216,6 +227,8 @@ Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das fol
 Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
 Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.
 
+Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren.
+
 Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
 Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.